什么是德摩根定律？(de morgan's laws?)
数理统计有时需要使用集合论。德摩根定律是描述各种集合论运算之间相互作用的两种表述。法律规定，对于任意两组A和B：
- (一)∩ B） C=AC U BC。
- （A U B）C=AC∩ 公元前。
在解释了这些语句的含义之后，我们将看一个使用这些语句的示例。
集合论运算
为了理解德摩根定律，我们必须回顾集合论运算的一些定义。具体地说，我们必须知道两个集合的并和交以及一个集合的补。
德摩根定律涉及到联合、交叉和互补的相互作用。回顾：
- 集合A和B的交集由A和B共同的所有元素组成。交集由A表示∩ B
- 集合A和B的并集由A或B中的所有元素组成，包括两个集合中的元素。交叉点由U B表示。
- 集合A的补码由非A元素的所有元素组成。该补码用AC表示。
现在我们已经回顾了这些基本操作，我们将看到德摩根定律的陈述。对于每对集合A和集合B，我们有：
- (一)∩ B） C=AC U BC
- （A U B）C=AC∩ 卑诗省
这两种说法可以用维恩图来说明。如下图所示，我们可以使用一个示例进行演示。为了证明这些陈述是正确的，我们必须使用集合论运算的定义来证明它们。
德摩根定律的例子
例如，考虑从0到5的实数集。我们用区间表示法[0,5]来表示。在这个集合中，我们有A=[1,3]和B=[2,4]。此外，在应用我们的基本操作后，我们有：
- 补码AC=[0，1）U（3，5]
- 补码BC=[0,2）U（4,5]
- 联盟A U B=[1,4]
- 十字路口A∩ B=[2,3]
我们首先计算联合AC U BC。我们看到[0,1）U（3,5]与[0,2）U（4,5]的并是[0,2）U（3,5]∩ B是[2,3]。我们看到这个集合[2,3]的补码也是[0,2）U（3,5]。这样我们就证明了AC U BC=（A∩ B） C。
现在我们看到[0,1）U（3,5]与[0,2）U（4,5]的交集是[0,1）U（4,5]。我们还看到[1,4]的补码也是[0,1）U（4,5]。在这里我们证明AC∩ BC=（A U B）C。
德摩根定律的命名
纵观逻辑学史，亚里士多德和奥克姆的威廉等人都做出了与德·摩根定律相当的陈述。
德摩根定律是以奥古斯都·德摩根（Augustus De Morgan）的名字命名的，他生活在1806-1871年间。虽然他没有发现这些定律，但他是第一个使用命题逻辑中的数学公式正式介绍这些陈述的人。
- 发表于 2021-10-21 08:48
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- 分类：数学
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