正态分布通常称为钟形曲线。这种类型的曲线在整个统计和现实世界中都会出现。

例如，在我对任何一个班级进行测试后，我喜欢做的一件事就是绘制一张所有分数的图表。我通常写下10个分数范围，比如60-69分、70-79分和80-89分，然后为该范围内的每个测试分数打一个理货标记。几乎每次我这样做，都会出现一个熟悉的形状。一些学生做得很好，一些学生做得很差。一堆分数最终聚集在平均分数周围。不同的测试可能导致不同的平均值和标准偏差，但图形的形状几乎总是相同的。这种形状通常称为钟形曲线。

为什么称之为钟形曲线？钟形曲线得名很简单，因为它的形状类似于钟。这些曲线贯穿于统计学研究的始终，其重要性无论怎样强调都不为过。

什么是钟形曲线(a bell curve)？

从技术上讲，我们在统计学中最关心的钟形曲线类型实际上被称为正态概率分布。对于下面的内容，我们将假设我们正在讨论的钟形曲线是正态概率分布。尽管有“钟形曲线”的名称，但这些曲线并不是由其形状定义的。取而代之的是，一个令人生畏的公式被用作钟形曲线的正式定义。

但是我们真的不需要太担心这个公式。我们关心的唯一两个数字是均值和标准差。给定数据集的钟形曲线的中心位于平均值。这是曲线的最高点或“钟形顶部”所在的位置。数据集的标准偏差决定钟形曲线的展开方式。标准偏差越大，曲线的展开程度越大。

钟形曲线的重要特征

钟形曲线有几个重要的特征，它们与统计学中的其他曲线不同：

• 钟形曲线有一种模式，它与平均值和中值重合。这是曲线的中心，处于最高点。
• 钟形曲线是对称的。如果在中间沿垂直线折叠，两半将完美匹配，因为它们是彼此的镜像。
• 钟形曲线遵循68-95-99.7规则，这为进行估计计算提供了一种方便的方法：大约68%的数据在平均值的一个标准偏差内。大约95%的数据在平均值的两个标准偏差内。大约99.7%的数据在平均值的三个标准偏差内。

一个例子

如果我们知道钟形曲线为我们的数据建模，我们可以用钟形曲线的上述特征来说明很多问题。回到测试示例，假设我们有100名学生参加了统计测试，平均分数为70，标准差为10。

标准偏差为10。减去平均值，再加上10。这给了我们60和80。根据68-95-99.7规则，我们预计100名学生中有68%或68名学生的考试分数在60到80分之间。

两倍的标准偏差是20。如果我们减去20，再加上平均数，我们得到50和90。我们预计，在100名或95名学生中，约有95%的人在考试中得分在50到90分之间。

类似的计算告诉我们，实际上每个人在测试中的得分都在40到100分之间。

钟形曲线的应用

钟形曲线有许多应用。它们在统计学中很重要，因为它们为各种各样的真实数据建模。如上所述，测试结果是它们弹出的一个地方。以下是其他一些：

• 对一件设备的重复测量
• 生物学特性的测量
• 接近偶然事件，如掷硬币几次
• 学区内特定年级学生的身高

何时不使用钟形曲线

尽管钟形曲线有无数的应用，但并非适用于所有情况。一些统计数据集，如设备故障或收入分布，具有不同的形状，并且是不对称的。其他时候，可能有两种或两种以上的模式，例如当几个学生在考试中表现很好，而几个学生在考试中表现很差。这些应用需要使用与钟形曲线定义不同的其他曲线。关于如何获得相关数据集的知识有助于确定是否应使用钟形曲线来表示数据。