你走在俄罗斯圣彼得堡的大街上,一位老人提议玩下面的游戏。他掷了一枚硬币(如果你不相信他的硬币是公平的,他会向你借一枚)。如果它落在尾部,那么你就输了,游戏就结束了。如果硬币正面着地,那么你赢了一卢布,游戏继续。硬币又被抛了。如果是反面,那么游戏结束。如果是正面的,那么你将额外赢得两卢布。游戏继续以这种方式进行。对于每一个连续的头部,我们从上一轮的赢款翻倍,但在第一个尾部的迹象,游戏结束了。
玩这个游戏你要付多少钱?当我们考虑这个游戏的预期价值时,你应该抓住机会,不管付出什么代价。然而,从上面的描述来看,你可能不愿意付出太多。毕竟,有50%的概率一无所获。这就是所谓的圣彼得堡悖论,因1738年圣彼得堡帝国科学院丹尼尔·伯努利评论的出版而得名。
让我们从计算与此游戏相关的概率开始。一枚公平的硬币正面着地的概率是1/2。每次抛硬币都是一个独立的事件,因此我们可能使用树形图来乘以概率。
现在让我们继续,看看我们是否能概括出每一轮的赢款情况。
一个游戏的期望值告诉我们,如果你玩了很多次游戏,平均赢款是多少。为了计算期望值,我们将每轮赢款的价值与进入这一轮的概率相乘,然后将所有这些产品相加。
每轮的值为1/2,将前n轮的结果加在一起,我们得到的预期值为n/2卢布。因为n可以是任何正整数,所以期望值是无限的。
那你应该付多少钱去玩呢?从长远来看,一卢布、一千卢布甚至十亿卢布都将低于预期价值。尽管上面的计算保证了数不清的财富,我们仍然不愿意花很多钱去玩。
解决这一矛盾的方法有很多。一个简单的方法是,没有人会提供像上面描述的那样的游戏。没有人有足够的资源来支付那些继续胡思乱想的人。
解决这一矛盾的另一种方法是指出,连续得到20个人头是多么不可能。这种情况发生的几率比赢得大多数州彩票要好。人们通常以5美元或更少的价格玩这种彩票。因此,玩圣彼得堡游戏的价格可能不会超过几美元。
如果圣彼得堡的人说玩他的游戏需要花费比几卢布更多的钱,你应该礼貌地拒绝并走开。无论如何,卢布值不了多少钱。
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