デリバティブと微分

微分において、関数の微分と微分子は密接な関係にあるが、その意味は全く異なり、微分可能な関数に関する2つの重要な数学的対象を表すのに用いられる。

デリバティブとは何ですか？

関数の導関数は、入力の変化に対して関数の値が変化する速度を測定します。多変数関数では、関数の値の変化は、独立変数の値の変化の方向に依存する。そのため、この場合は特定の方向を選択し、その方向で機能を区別する。この微分を方向性微分と呼ぶ。偏導関数は方向性導関数の特殊なクラスである。

ベクトル値関数fの微分は、それが有限個存在するところの極限として定義することができる。前述したように、これはベクトルuの方向に沿った関数fの増加率を与えるものである。

例えば，どこでも微分可能で，微分は極限である , に等しい． のような関数***の微分はどこでも存在する．これらはそれぞれfunci***に等しい。

これを一次微分という。通常、関数fの1次導関数はf (1)と表記される。この表記法を用いて、高次の微分を定義することができるようになりました。 は2次の方向性微分で、各nについてf (n) と表記すると、 , はn次微分を定義します。

差別化とは？

関数の微分は、独立変数の変化に対する関数の変化を表します。通常の表記では、1変数xの与えられた関数fに対して、次数1の全微分dfは、、、、で与えられる。これは、xの無限小の変化（すなわちdx）に対して、fのf (1)(x)dx の変化があることを意味する。

制限を用いることで、以下のような定義が導き出される。任意の点xにおけるxの変化を△xとし、それに対応する関数fの変化を△fとする。Δf = f(1)(x)Δx + ϵ、ここでϵは誤差であることが示される。さて、極限⊿x→0⊿f/⊿x=f(1)(x)であるから（先ほどの微分の定義を使って）、⊿x→0ϵ/⊿x=0 となる。ここで、微分の定義は、dfを⊿x→0⊿f、dxを⊿x→0⊿xとして厳密に得られるものだ。

例えば、関数の微分は．

2変数以上の関数の場合、関数の全微分は各独立変数の微分の合計と定義される。数学的には、次のように記述することができます。