ラプラス変換とフーリエ変換

ラプラス変換とフーリエ変換はともに積分変換であり、物理システムの数理モデルを解くための最も一般的な数学的手法である。やり方は簡単です。複雑な数学的モデルを、積分変換によって単純で解きやすいモデルに変換する。単純化されたモデルを解いた後、逆積分変換を適用することで、元のモデルの解を得ることができる。

例えば、ほとんどの物理系は微分方程式を生じているので、積分変換によって代数方程式や低次の容易に解ける微分方程式に変換することができる。そうすれば、問題解決はより容易になります。

ラプラス変換とは？

実数変数 t の関数 f (t) があるとき、そのラプラス変換は積分によって定義され、それは複素変数 s の関数である。関数 F(s) の逆ラプラス変換は、L {f (t)} = F(s) となるように関数 f (t) を取り、通常の数学表記では、L -1{F(s)} = f (t) と書きます。NULL関数が許されない場合、逆変換を一意にすることができる。この2つは関数空間で定義される線形演算子として同定でき、null functi*** が許されない場合は、L -1{ L {f (t)}} = f (t) となることも容易に理解できる。

次の表は、最も一般的な関数のラプラス変換の一覧です。

フーリエ変換とは？

実数変数 t の関数 f (t) があるとき、そのラプラス変換は積分によって定義され、通常 F { f (t)} と表記される。逆変換F -1{F(α)}は積分によって与えられる．フーリエ変換も線形であり、関数空間で定義された演算子と考えることができる。

フーリエ変換を用いると、元の関数は、不連続点が有限個しかなく、絶対可積分であれば、次のように書くことができる。

• 関数f(t)のフーリエ変換は次のように定義され、そのラプラス変換は次のように定義されます。
• フーリエ変換はすべての実数に対して定義された関数に対してのみ定義されるが、ラプラス変換は負の実数に設定した場合の関数を定義する必要はない。
• フーリエ変換は、ラプラス変換の特殊なケースです。非負の実数に対して、両者は整合的であることが示される。(すなわち、ラプラスでは s を iα + β とし、α と β は実数、eβ = 1/√(2ᴫ))
• フーリエ変換を持つ関数はすべてラプラス変換を持つが、その逆もまた真である。