確率変数と確率分布

統計的実験とは、無限に繰り返すことができ、結果が既知のランダム化された実験のことである。これらの実験には、確率変数と確率分布の両方が関連付けられています。各確率変数には、関連する確率分布があり、累積分布関数と呼ばれる関数で定義されます。

ランダム変数とは？

確率変数とは、統計的な実験結果に値を割り当てる関数である。つまり、統計実験の標本空間から実数の集合に定義される関数である。

例えば、コインを2回ひっくり返すランダムな実験を考えてみましょう。考えられる結果は、HH、HT、TH、TT（H-heads、T-story）です。実験で観察された頭の数を変数Xとする。このとき、Xは0、1、2のいずれかをとり、確率変数となる。ここで、確率変数Xは、HHが2に、HTとTHが1に、TTが0に対応するように、集合S={HH, HT, TH, TT}（サンプル空間）を集合{0, 1, 2}に対応づける。関数表現では、これは、X：S → Rと書き、X（HH） = 2、X（HT） = 1、X（TH） = 1、 X（TT） = 0である。

確率変数には離散型と連続型があり、確率変数に想定される値の数はせいぜい数えられる程度である。先ほどの例では、{0, 1, 2}が有限集合なので、確率変数Xは離散確率変数となります。さて、あるクラスの生徒の重さを求める統計実験を考えてみましょう。Yを生徒の体重と定義される確率変数とする.したがって、Yは連続的な確率変数である。

確率分布とは？

確率分布とは、ある確率変数がある値をとる確率を記述した関数です。

実数の集合から実数の集合までの各可能な結果xに対して、累積分布関数（F）と呼ばれる関数が、F（x）＝P（x≦x）（x以下である確率）と定義できる。さて、最初の例のxの累積分布関数は、A < 0ならF(A)=0、0≦a < 1ならF(A)=0.25、1≦a < 2ならF(a)=0.75、a≧2ならF(a)=1 と書けます。

離散確率変数の場合、起こりうる結果 x を ƒ(x) = P(x = x) (x が x と等しくなる確率) と定義できるように、起こりうる結果の集合から実数の集合への関数を定義することができる。この特定の関数 ƒ を確率変数 x の確率質量関数と呼ぶことにする。最初の具体例では、 ƒ(0) = 0.25, ƒ(1) = 0.5, ƒ(2) = 0.25, それ以外は ƒ(X) = 0 と書けるので、確率質量関数と累積分布関数でXの確率分布が表現できることになる。

連続確率変数の場合、確率密度関数（ƒ）と呼ばれる関数は、各xについて ƒ(x) = dF(x)/dx と定義できる（Fは連続確率変数の累積分布関数）。この関数が ∫ƒ(x)dx=1 を満たすことは容易に理解できる。 確率密度関数と累積分布関数は連続確率変数の確率分布を表す。例えば、正規分布（連続確率分布）は、確率密度関数 ƒ(x) = 1/√(2πσ2)e^([(x-μ)]2/(2σ2)) で記述される。