第1部/第3部：ダイレクトパラメータ化

1. 1 リーマンの応用と等価積分の定義。定義する。複素関数f(z){displaystyle f(z)}と輪郭γ,{displaystyle \gamma,} があるとき、γ{displaystyle \gamma }上のf(z){displaystyle f(z)}の積分はRiemann sum limn→∞∑i=0nf(zi)Δ と呼ばれる。zi. {displaystyle lim _{n} to infty }sum _{i=0}^{n}f(z_{i})\Delta z_{i}.}..この極限が存在すれば、f(z){displaystyle f(z)} はγ{displaystyle \gamma .}上で可積分であると言うことができる。.これを∫γf(z)dz.{displaystyle \int _{gamma }f(z)mathrm {d} z.}と書いて伝えると、直感的にはリーマン和の非常に分かりやすい一般化であることが分かります。単純に長方形を足して曲線の面積を求め、長方形の幅を0に送れば、無限に薄くなるのです。
2. 2 輪郭積分をパラメータt{displaystyle t}で書き直す。輪郭γ{displaystylegamma}をz(t),{displaystyle z(t),}とパラメータ化すると、連鎖法則により等価的に次の積分を書くことができる。∫γf(z)dz=∫Δtf(z(t))dzdtdt{displaystyle int _{gamma }f(z)\mathrm {d} z=int _{Delta t}f(z(t){frac {mathrm {d} z}{mathrm {d} t} This is what weを使用して積分を計算します。重要なことは、この積分は実部と虚部で次のように書けることである。∫Δtf(z(t))dzdtdt=∫Δt(u(t)+iv(t))dt{displaystyle {int _{Delta t}f(z(t)){frac {mathrm {d} z}{mathrm {d} t}mathrm {d} t=int _{Delta t}(u(t)+iv())t))\mathrm {d} t}}} 。
3. 3 γ{displaystyle \gamma }をパラメータ化し、dzdt{frac {mathrm {d} z}{mathrm {d} t}}を計算する。複素解析で使われる最も単純な等高線は、直線と円の等高線である。簡単のために、0 ≦ t ≦ 1.となるように線をパラメータ化することが望ましい場合が多い。始点z1{displaystyle z_{1}}と終点z2,{displaystyle z_{2},}が与えられたとき, このような輪郭線は一般に次のようにパラメータ化されます. z(t)=(1-t)z1+z2, 0≤t≤1{displaystyle z(t)=(1-t)z_{1}+z_{2}.円形の輪郭も、輪郭の方向さえ把握していれば、簡単な方法でパラメータ化することができます。z0{displaystyle z_{0}}を円の中心、r{displaystyle r}を円の半径とする。z(t)=z0+reit, 0≤t≤2π{displaystyle z(t)=z_{0}+re^{it}, \ 0leq tleq 2pi } compute dzdt from these two contours{displaystyle {frac {mathrm {d} z}{mathrm {d} t}}} は素直である。ここで、2つの重要な事実があります。まず、輪郭積分∫γf(z)dz{displaystyleint_{Photogamma }f(z)åmathrm {d} z}は、γ{displaystyle}の方向さえ変わらなければ、パラメータ化に依存せず、また、γ{displaystyle}の方向も同じです。つまり、速度は無限に変化するため、あるプロファイルをパラメータ化する方法は無限にある。第二に、ねじれたプロファイルの方向が積分を否定する。∫-γf(z)dz=-∫γf(z)dz{{displaystyle int _{-gamma }f(z)\mathrm {d} z=-int _{gamma }f(z)\mathrm {d} z}となる。
4. 4 評価t{displaystyle t}は実数値であることが分かっているので、あとは実数変数微積分の標準的な積分法を用いて積分すればよいだけです。点a{displaystyle a,}から出発して、半径a{displaystyle a}の半円を反時計回りに横切り、-a{displaystyle -a}からa.{displaystyle a.}までの直線でループを閉じる輪郭です。図のように点z=i{displaystyle z=i}を関数の極と考えると、輪郭積分はその極を中心とした輪郭線を記述することになります。この種の積分は、複素解析では極めて一般的である。

第3部：お手本の後編

1. 1 以下の輪郭積分を評価せよ。 γ{displaystylegamma }は原点と1+i{displaystyle 1+i}を結ぶ線に沿った曲線である。∫γ(xy2+2xyi)dz{displaystyleint _{gamma }(xy^{2}+2xyi)\mathrm {d} z}.
2. 2 輪郭線をパラメータ化する。この曲線は特に単純で、x=t{displaystyle x=t}とy=t.{displaystyle y=t.}である。z(t)=t+it, 0≤t≤1{displaystyle z(t)=t+it,\ 0leq tleq 1}.
3. 3 dzdt{displaystyle{frac{mathrm{d}z}{mathrm{d}t}}を計算する。この結果を積分に代入すると dzdt=1+i{displaystyle {frac {mathrm {d} z}{mathrm {d} t}=1+i}∫γ(xy2+2xyi)dz=∫01(t3+i2t2)(1+i)dt{displaystyleINT _{АРрπ}(xy^ ){2}+2xyi)\mathrm {d} z=INT _{0}^{1}(t^{3}+i2t^{2})(1+i)\mathrm {d} t} ．
4. 4 これを評価すると ∫01(t3+i2t2)(1+i)dt=∫01(t3+i2t2+it3-2t2)dt=14+i(23+14)-23=-512+1112i{displaystyle {}begin{aligned}int _{0}^{1}(t^{3}+i2t^{2})(1+i)\mathrm {d} t&amp.T_Amp;=int _{0}^{1}(t^{3}+i2t^{2}+it^{3}-2t^{2})\mathrm {d} t&={frac {1}{4}+ileft({frac {2}{3}+{frac {1}{4}}}right)-{frac {2}{3}}并且 =-{frac {5}{12}+{frac {11}{12}iend{aligned}} 窶佚佚昶佚昶昶昶昶昶昶昶昶。
5. 5は同じ積分を計算しますが、γ{displaystyle \gamma }は原点と1+i{displaystyle 1+i}を結ぶy=x3{displaystyle y=x^{3}に沿ったカーブです。｝パラメタリゼーションはx=t{displaystyle x=t}、y=t3.{displaystyle y=t^{3}に変更されます。z(t)=t+it3{displaystyle z(t)=t+it^{3}}dzdt=(1+i3t2)dt{displaystyle {frac {mathrm {d} z}{mathrm {d} t}=(1+i3t^{2})\mathrm {d}.t}∫γ(xy2+)2xyi)dz=∫01(t7+i2t4)(1+i3t2)dt=∫01(t7+i2t4+i3t9-6t6)dt=18+i(25+310)-67=-4156+710i{\displaystyle {begin{aligned}}int _{}gamma }(xy^{2}+2xyi)\mathrm {d} z&=int _{0}^{1}(t^{7}+i2t^{4})(1+i3t^{2})\mathrm {d} tamp;=int _{0}^{1}(t^{7}+i2t^{4}+i3t^{9}-6t^{6})\mathrm {d} t&={frac {1}{8}+i1left({frac {2}{5}+{frac {3}{10}}right)-{hatfrac {6}{7}}} {amp;=-{afrac {41}{56}}+{frac {7}{10}}iend{aligned}} ここで、 f(z)=xy2+2xyi,{displaystyle f(z)=xy^{2}+2xyi,} などの非解析関数について、輪郭積分が選択したパスに依存していることを示しています。この関数が非解析的であることは、実部および虚部がCauchy-Riemann方程式を満たすことを確認することで証明できる。∂u{displaystyle {frac {partial u}{partial x}=y^{2}} と∂v{displaystyle {frac {partial v}{partial y}=2x,} であるから、非解析性を証明するにはこれで十分である。

第3部 輪郭積分に関する基本定理

1. 1 微積分の基本定理を一般化する。この定理は同値積分と関係があるので、反すうを求めることができれば同値積分の値を簡単に計算することができます。関数 f(z){displaystyle f(z)} に反すう F(z){displaystyle F(z)} such that ddzF(z)=f(z){displaystyle {frac {mathrm {d}} があるとする.{mathrm {d} z}F(z)=f(z)} を領域 D,{displaystyle D,} を通り、γ{displaystyle \gamma } を D,{displaystyle D,} における輪郭とすると、z0{displaystyle z_{0} and z1{displaystyle z_{0displaystyle z_{1}}はそれぞれγ,{displaystyle \gamma }の始点と終点です。すると、すべての有限長の連続パスγ{displaystyle int _{gamma }f(z)\mathrm {d} z}に対する∫γf(z)dz{displaystyle int _{gamma }はパス独立で、その値はF(z1)-F(z0)で与えらます。{ディスプレイスタイル F(z_{1})-F(z_{0}}}. }}.
2. 2 以下の積分を直接パラメタライズして評価せよ。 γ{displaystyle \gamma }はz=-i{displaystyle z=-i}からz=i.{displaystyle z=i.}まで反時計回りに半円、 ∫γzdz{displaystyle int _{gamma }{sqrt {z}}は?mathrm {d} z} です。
3. 3 γ,{displaystyle \gamma ,} dzdt,{displaystyle {frac {mathrm {d} z}{mathrm {d} t}},} を求め、評価します。 z(t) = eit,-π2 ≦ t ≦ π2 {displaystyle z(t) = e^{it} となります。-{pi }{2}leq tleq {frac {pi }{2}}dzdt=ieit{displaystyle {frac {mathrm {d} z}{mathrm{d}}=ie^{itt}}=ie^{it}}∫γzdz=∫-π/2π/2e12Logeitieitdt=i∫-π/2π/2e32itdt=23e32it|-π/2π/2=23(e3π4i-e3π4i)=232isin3π4=223i{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\gamma }{\sqrt {z}}\mathrm {d} z&=int _{-intepi /2}^{pipes /2}e^{frac {1}{2}}operatorname {Log} e^{it}ie^{it}mathrm {d} tamp;=iint _{-pi /2}^{pi /2}e^{prac {3}{2}it}mathrm {d} t&={prac {2}{3}e^{prac {3}{2}it}{Bigg |}_{pi /2}^{pi /2}amp.Amp.とする。={frac {2}{3}} left(e^{frac {3}pi }{4}i}-e^{-{frac {3}pi }{4}i}right)\amp;={frac {2}{3}2i sin {frac {3}pi }{4}}amp;={frac {2{sqrt {2}{3}i end{aligned}}.
4. 4 は、同値積分の基本定理を使って同じ積分を評価します。しかし、この方法では、積分の中のz{displaystyle {sqrt {z}}が問題になる。z=e12Logz,{displaystyle{sqrt{z}}=e^{frac{1}{2}}operatorname{Log} z}}が分かっているので、対数関数の存在は分岐切れを示唆しており、積分は出来ません。幸いなことに、私たちはブランチカットを選択することで、私たちのプロファイルがドメイン内でうまく定義されるようにすることができます。この場合、対数の主枝、すなわち非正の実数からなる枝切りは、我々の輪郭線がその枝切りを迂回することになるので、実現可能なのである。主対数のパラメータが (-π,π],{displaystyle (-πpi ,\pi ],} 上に定義されていることを認識すれば、あとは簡単な計算をするだけです。∫γzdz=23z3/2|-ii=23(i32-(-i)32)=23(e32Logi-e32Log(-i)){displaystyle {begin{aligned}int _{mathrm {d} z&={frac {2}{3}}z^{3/2}{Bigg |}_{-i}^{i}&={frac {2}{3}}left(i^{frac {3}{2}-(-i)^{frac {3}{2}}right)\amp;={frac {2}{3}}left(e^{{Frac {3}{2}}the_parts {3}}}}amp}。}}operatorname {Log} i}-e^{{prac {3}{2}} Operatorname {Log}(-i)}}right)end{aligned}} 対数の本分では、Logi=iπ2{displaystyleoperatorname {Log}となることが分かります。Log} i=i{frac {pi }{2}}, および Log(-i)=-iπ2.{displaystyleoperatorname {Log}} は、以下のようになります。(-i)=-i{frac {pi }{2}}}.∫γzdz=23(e32iπ2-e32iπ2)=23(e3π4i-e-3π4i)=232isin3π4=223i{displaystyle {begin{aligned}int _{gamma }{sqrt {z}} {d} z&={frac {2}{3}}left(e^{{Cheek {3}{2}}i{frac {pi }{2}}-e^{-{frac {3}{2}}i{frac {pi }{2}}right)\amp;={frac {2}{3}}left(e^{Cheek {3}π }{4}i}-e^{- {frac {3}{2}}i{frac {pi }{2}}right} {{frac }{3}}は、[3}{4}}を省略したもの。{frac {3}pi }{4}i}right)\amp;={frac {2}{3}2i}sin {frac {3}pi }{4}iamp;={frac {2{sqrt {2}{3}iend{aligned}}}.

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