数学最重要的分支之一是微积分。微积分是一种以系统的方式计算问题的方法，通常是通过积分和导数来求函数的性质或值。微积分的基本概念是微分和积分。这两个概念可以定义为彼此的反比。积分的逆是微分的，微分的逆是积分的。根据积分给出的结果，它们分为定积分和不定积分。

一定的(definite) vs. 不定积分(indefinite integrals)

定积分与不定积分的区别在于，定积分定义为有上下限且有常数值作为解的积分，而不定积分定义为无极限的内积分，它给出了问题的通解。

未知变量函数的定积分是一个有上下限的数的表示。不定积分是函数族的无限表示。

定积分与不定积分的比较表

什么是定积分(a definite integral)？

定积分定义为给出常数结果的数的表示。定积分总是有上限和下限。定积分的极限是常数。有时人们说定积分是在上下限上求出的不定积分。

用极限法求解积分得到的值或解是常数，因此这些积分称为定积分。解决方案可以是正的，也可以是负的。由定积分得到的解总是在一个特定的区域内。

当一个函数有两个极限可供计算时，使用定积分。定积分广泛应用于物理和工程的各个领域。使用定积分的一些领域是计算功、力、质量、面积、表面积、曲线间面积、弧长、矩、质心、指数增长和衰减等。

什么是不定积分(indefinite integral)？

不定积分定义为无极限积分。不定积分是一系列具有导数f的函数的表示。不定积分没有适用的极限。

解一个不定积分的未知函数所得到的解是一个广义解，因此它也含有变量。不定积分的解的面积没有规定。

不定积分用于需要问题通解的地方。不定积分用于商业、科学、工程、经济等领域。不定积分的一些应用领域包括速度位移、加速度速度、电容器电压等。

定积分与不定积分的主要区别

1. 定积分可以定义为有极限的积分，而不定积分可以定义为无极限的积分。
2. 定积分是具有上下限常数的数的表示，而不定积分是具有导数f的函数族的通解的表示。
3. 在定积分的情况下，有上限和下限，另一方面，不定积分没有任何极限。
4. 定积分的极限解是常数，而不定积分的解是通解。
5. 定积分的解可以是正的，也可以是负的，而在不定积分中它是未知的。
6. 不定积分的通解有一个任意常数，必须加一个常数。
7. 这两种积分在工程和科学中都是极其重要的，然而，定积分用于需要常数值作为答案的情况，而不定积分用于需要通解的情况。

结论

这两类积分具有各自的性质和函数，在求解问题中起着重要的作用。如果先用不定积分求解定积分，再加上极限，则定积分可能会有间断。

参考文献

1. https://www.tandfonline.com/doi/abs/10.1080/10652469.2014.1001385
2. https://www.koreascience.or.kr/article/JAKO200931559904911.page