在阅读统计学和数学时，经常出现的一个短语是“当且仅当”。这个短语尤其出现在数学定理或证明的陈述中。但这句话究竟意味着什么？

当且仅当在数学中意味着什么？

要理解“如果且仅当”，我们必须首先知道条件语句的含义。条件语句是由另外两个语句组成的语句，我们将用P和Q表示。要形成条件语句，我们可以说“if P then Q”

以下是此类声明的示例：

• 如果外面下雨，我就带着雨伞去散步。
• 如果你努力学习，那么你将获得A。
• 如果n可以被4整除，那么n可以被2整除。

逆与条件句

其他三条语句与任何条件语句相关。这些被称为逆、逆和反正。我们通过改变原始条件的P和Q的顺序，并插入“not”一词来表示逆和反正，从而形成这些陈述。

我们只需要在这里考虑逆向。这句话来源于原文，说“如果Q然后P”。假设我们从条件“如果外面下雨，那么我就带着雨伞散步。”这句话的相反是“如果我带着雨伞散步，那么外面就下雨。”

我们只需要考虑这个例子来认识到原来的条件不是逻辑上与它的逆是一样的。这两种语句形式的混淆称为反向错误。即使外面不下雨，人们也可以带着雨伞散步。

在另一个例子中，我们考虑条件“如果一个数字可被4整除，那么它可以被2整除”这个陈述显然是正确的。然而，这句话的相反“如果一个数字可以被2整除，那么它就可以被4整除”是错误的。我们只需要看一个数字，比如6。虽然2除以这个数，但4不等于。虽然最初的陈述是正确的，但它的反面却不是。

双条件

这就引出了一个双条件语句，也称为“如果且仅如果”语句。某些条件语句也有正确的相反形式。在这种情况下，我们可以形成所谓的双条件陈述。双条件语句的形式如下：

如果P那么Q，如果Q那么P

由于这种构造有点尴尬，特别是当P和Q是它们自己的逻辑语句时，我们使用短语“if and only if”来简化双条件语句。我们不是说“if P then Q，if Q then P”，而是说“P if and only if Q”。这种构造消除了一些冗余。

统计示例

对于涉及统计的短语“当且仅当”的示例，只需查看有关样本标准偏差的事实即可。当且仅当所有数据值相同时，数据集的样本标准偏差等于零。

我们将这个双条件语句分解为条件语句及其相反的语句。那么我们可以看到，这句话是指以下两种情况：

• 如果标准偏差为零，则所有数据值都相同。
• 如果所有数据值相同，则标准偏差等于零。

双条件的证明

如果我们试图证明一个双条件，那么大多数情况下，我们最终会分裂它。这使得我们的证明分为两部分。我们证明的一部分是“如果P那么Q”。我们需要证明的另一部分是“如果Q那么P”

充要条件

双条件陈述与必要和充分的条件有关。考虑一下“如果今天是复活节，明天就是星期一”的说法，“今天是复活节就足够了，明天就是星期一，但是，这是不必要的。”今天可能是复活节以外的任何一个星期天，明天仍然是星期一。

缩写

“当且仅当”一词在数学写作中使用得非常普遍，因此它有自己的缩写。有时，短语“if and only if”语句中的双条件被简化为“iff”。因此，语句“P if and only if Q”变为“P iff Q”