什么是逆、反、逆？(the converse, contrapositive, and inverse?)
条件语句随处可见。在数学或其他领域，很快就会出现“If P then Q”的形式。条件语句确实很重要。同样重要的是，通过改变P、Q的位置和语句的否定，与原始条件语句相关的语句。从一个原始语句开始，我们最终得到三个新的条件语句，它们分别命名为逆、逆和逆。
反面
在定义条件语句的逆、反、逆之前，我们需要检查否定的主题。逻辑中的每一句话不是真就是假。对一个陈述的否定只涉及在陈述的适当部分插入“not”一词。添加“not”一词是为了改变陈述的真实状态。
看一个例子会有所帮助。“直角三角形是等边的”的说法否定了“直角三角形不是等边的”。否定了“10是偶数”的说法是“10不是偶数”。当然，对于最后一个例子，我们可以使用奇数的定义，而不是说“10是奇数”我们注意到陈述的真理与否定的真理相反。
我们将在一个更抽象的环境中研究这个想法。当语句P为true时，语句“not P”为false。同样地，如果P为假，则其否定“不是”P“是真的。否定通常用波浪号表示。所以我们可以写~P，而不是写“不是P”。
逆、逆、逆
现在我们可以定义条件语句的逆、反、逆。我们从条件语句“If P then Q”开始
- 条件语句的相反形式是“If Q then P”
- 条件语句的反作用是“如果不是Q，那么就不是P。”
- 条件语句的倒数是“如果不是P，那么不是Q”
我们将通过一个例子来了解这些语句是如何工作的。假设我们从条件语句“如果昨晚下雨，那么人行道是湿的”开始
- 与条件语句相反的是“如果人行道是湿的，那么昨晚就下雨了。”
- 条件陈述的反作用是“如果人行道不湿，那么昨晚就没有下雨。”
- 条件陈述的反面是“如果昨晚没有下雨，那么人行道就不湿。”
逻辑等价
我们可能想知道，为什么从最初的条件语句中形成这些其他条件语句很重要。仔细看一下上面的例子可以发现一些东西。假设最初的陈述“如果昨晚下雨，那么人行道是湿的”是真的。其他哪些陈述也必须是正确的？
- 反之，“如果人行道是湿的，那么昨晚就下雨了”不一定是真的。人行道可能因为其他原因而湿了。
- 相反的说法“如果昨晚没有下雨，那么人行道就不湿”并不一定正确。再说一遍，不下雨并不意味着人行道不湿。
- 相反，“如果人行道不湿，那么昨晚就没有下雨”是一个真实的说法。
我们从这个例子中看到（并且可以从数学上证明）一个条件语句与它的反正语句具有相同的真值。我们说这两种说法在逻辑上是等价的。我们还看到，条件语句在逻辑上并不等同于它的逆语句和逆语句。
因为条件语句和它的反正语句在逻辑上是等价的，所以我们在证明数学定理时可以利用它。与其直接证明条件语句的真理，我们可以使用间接证明策略来证明该语句反正的真理。反正证明之所以有效，是因为如果反正是真的，由于逻辑等价性，原始条件语句也是真的。
事实证明，尽管逆和逆在逻辑上并不等同于原始条件语句，但它们在逻辑上彼此等价。对此有一个简单的解释。我们从条件语句“If Q then P”开始。这句话的反正是“如果不是P，那么就不是Q”。因为逆是逆的反正，逆和逆在逻辑上是等价的。
- 发表于 2021-10-20 10:06
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- 分类：数学
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