第1部分第1部分，共2部分：推导

1. 定义动量。4-动量P{\displaystyle P}是牛顿力学中线性动量的相对论模拟，升级为包含额外的时间成分。这个时间分量描述能量，所以4动量将线性动量和能量统一成一个数学对象。下面，我们将4-动量写成行向量以节省空间，尽管它应该被认为是列向量。P=（Ec，px，py）{\displaystyle P=\left（{\frac{E}{c}，P{x}，P{y}\right）}
2. 2考虑向所有方向发射的光源。光子从光源静止帧的4动量取决于相对于光源v的速度的角度，{\displaystyle v，}，我们称之为+x{\displaystyle+x}方向的点。下面，我们假设所有光子都以相同的能量发射。P=（欧洲共同体，欧洲共同体）⁡θ、 埃辛⁡θ） {\displaystyle P=\left（{\frac{E}{c}}，{\frac{E}{c}}\cos\theta，{\frac{E}{c}}\sin\theta\right）}尽量不要让c{\displaystyle c}常量把你甩在脑后——不要把它们当成常量，而应该把它们当成单位转换因子。
3. 3洛伦兹加速到坐标系。这是一个在屏幕上移动的画面−相对于源的x{\displaystyle-x}方向。这个标志的结果是，在洛伦兹变换的非对角线上有正的量。请注意，我们表示坐标系的素数，而不是移动帧。（E’cE’ccos）⁡θ′E′csin⁡θ′）=（γγβ0γβγ0001）（EcEccos⁡θEcsin⁡θ） {\displaystyle{\begin{pmatrix}{\frac{E^{\prime}}{c}\\{\frac{E^{\prime}}{c}}\cos\theta^{\prime}{E^{\prime}{c}\sin theta^{\prime}\end{pmatrix}={\begin pmatrix}\gamma；\γ\β&amp；0\\\gamma\beta&amp；\伽马和；0\\0&amp；0&amp；1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\frac{E}{c}}\\{\frac{E}{c}\cos\theta\\\{\frac{E}{c}\sin theta\end{pmatrix}}以上，β=vc{\displaystyle\beta={frac{v}{c}和γ=11−v2c2，{\displaystyle\gamma={\frac{1}{\sqrt{1-{\frac{v^{2}}{c^{2}}，}洛伦兹因子。
4. 4求解坐标系中的能量。上面的矩阵方程是一个线性方程组。第三个是琐碎的，没有告诉我们任何新的东西。E′c=γEc+γβEccos⁡θE′=γE（1+βcos）⁡θ） {\displaystyle{\begin{aligned}{\frac{E^{\prime}}{c}}&amp=\gamma{\frac{E}{c}}+\gamma\beta{\frac{E}{c}}\cos\theta\\E^{\prime}&amp=\gamma E\left（1+\beta\cos\theta\right）\end{aligned}
5. 5求解坐标系中的角度。推导的最终结果是一个角度变换，看起来有点类似于速度加法公式。E’ccos⁡θ′=γβEc+γEccos⁡θγEc（1+βcos）⁡θ） 因为⁡θ′=γEc（β+cos）⁡θ） 因为⁡θ′=β+cos⁡θ1+βcos⁡θ{\displaystyle{\begin{aligned}{\frac{E^{\prime}}{c}}\cos\theta^{\prime}&amp=\gamma\beta{\frac{E}{c}}+\gamma{\frac{E}{c}}\cos\theta\\{\frac{\gamma E}{c}}}\left（1+\beta\cos\theta\right）\cos\theta^{\prime}&amp={\frac{\gamma E}{c}}\left（\beta+\cos\theta\right）\\\cos\theta^{\prime}&amp={\frac{\beta+\cos\theta}{1+\beta\cos\theta}}\end{aligned}}这是前照灯效果。
6. 6想象头灯的效果。由于它的非直观性，从参考坐标系来看，上面插入了一个视觉符号。垂直线是角度变换的结果。假设有180度的视野，我们可以看到一个以相对论速度移动的观察者也可以看到她身后的一些东西。颜色表示相对论多普勒效应。我们可以看到，观察者在她面前的视角发生了蓝移，蓝移的视角更加集中在她视野的中心附近。以足够快的速度，她可以看到蓝移红外，甚至微波和无线电波，作为可见光。右边是从她的参考系看到的隧道。当她移动得更快时，一开始她似乎在向后移动，但事实并非如此——她的视野实际上正在变得更广阔。她的视野在她前面逐渐变蓝，在她后面逐渐变红，这与第一个动画中缩小的圆锥体相对应。记住，在她的参照系中，她没有移动，但其他一切都在移动。同样值得注意的是隧道是如何逐渐弯曲的。这是同时性相对论的结果。在牛顿力学中，假设观察者同时看到墙的顶部和底部，所以垂直线是直的。狭义相对论并非如此。由于光速有限，在顶部和底部的光之前，中间附近的光到达了她，因此隧道呈凸形。

第2部分第2部分，共2部分：示例

1. 1考虑一下这个问题。以β=35{\displaystyle\beta={\frac{3}{5}}移动的光源以θ=±π2{\displaystyle\theta=\pm{\frac{\pi}{2}的角度发射光子，换句话说，正上方和下方。在坐标系中，相对于速度方向的角度是多少？解决方案：使用前照灯效果公式获得我们感兴趣的角度。观察角度在两个方向上的变换方式是否相同。余弦⁡θ′=β+cos⁡θ1+βcos⁡θcos⁡θ′=35+cos⁡π21+35cos⁡π2cos⁡θ′=35θ′≈±53.13∘{\displaystyle{\begin{aligned}\cos\theta^{\prime}&amp={\frac{\beta+\cos\theta}{1+\beta\cos\theta}\\\ cos\theta^{\prime}&amp={\frac{{\frac{3}{5}}+\cos{\frac{\pi}{2}}}{1+{\frac{3}{5}}\cos{\frac{\pi}{2}}\\\ cos\theta{\prime}&amp={\frac{3}{5}\\\ theta^{\prime}&amp；\大约\pm 53.13^{\circ}\end{aligned}

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