冪級数とテイラー級数

数学では、実数列は実数の順序付きリストのことである。形式的には、自然数の集合から実数の集合への関数である。aniを数列のn番目の項とすると、a1, a2, ..., an, ...を使うか、使う。を使い、シーケンスを表す。例えば、1, ½, ⅓, ..., 1/n という数列を考え、{1/n}と表記する。

シーケンスは、シーケンスを使用して定義することができます。レベル数は配列項の和とする。したがって、各シーケンスには関連するシーケンスが存在し、その逆もまた然りである。an}を対象とする配列とすると、その配列からなる配列は次のように表すことができる。

したがって、上記の例では、関連する数列は1+1/2+1/3+・・・+1/n+となる。

その名が示すように、冪級数は数値解析や関連する数学的モデリングに広く用いられている特殊な級数である。テイラー級数は特殊な力級数で、既知の関数を表現するための代替的で操作しやすい方法を提供するものである。

冪級数とは何ですか？

冪級数とは、形式の系列

係数anは実数または複素数で、xから独立したダミー変数である。

例えば、各nについてan=1、c=0とすると、1+x+x2+...+xn+の冪級数が求まる。xε(-1,1)のとき、冪級数は1/(1-x)に収束することが容易にわかる。

冪級数は x = c に収束する。その他のxの値で冪級数が収束するものは、常にcを中心とした開区間という形になる。すなわち、｜x-c｜≦Rを満たすすべてのxについて収束し、｜x-c｜gt; Rを満たすすべてのxについて発散するような値0≦R≦∞が存在する。この値Rは、冪級数の収束半径と呼ばれる（Rは任意の実数または正の無限大をとることができる）。

2つの冪級数について考えてみましょう。

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それから。

i. 類似の項を一緒に足したり引いたりする。同様に、2つの冪級数は定数式を用いて乗除することができる。

テイラーシリーズとは？

テイラー級数は、区間上で無限微分可能な関数 f(x) として定義されます。f(x) が c を中心とする区間で微分可能であると仮定すると、次式で与えられます。

は関数 f(x) の c に関するテイラー級数展開と呼ばれる（ここで f(n)(c) は x = c での n 回目の微分を表す）。数値解析では、この無限展開の有限個の項を用いて、級数が元の関数に収束する点での値を計算する。

関数 f (x) は、各 xε(A, b) に対して、f (x) のテイラー級数が関数 f (x) に収束する場合、区間 (A, b) 上で解析的であると言えます。例えば、1/(1-x) は、そのテイラー展開 1+x+x2+....+xn+... がその区間上の関数に収束するので (-1,1) で解決し、ex はどこでも解決するので各実 x のテイラー級数exconvergeはすべてexです。

べき級数とテイラー級数の違いは何ですか？

1 テイラー級数とは、ある開区間上で無限微分可能な関数に対してのみ定義される特殊な力級数のこと。

2 テイラー級数は特殊な形式を持つ

ただし、冪級数はどのような形式の級数であってもよい