冪級數與泰勒級數
在數學中，實數序列是實數的有序列表。形式上，它是一個從自然數集合到實數集合的函數。如果ani是序列的第n項，我們用或用a1，a2，…，an，….來表示序列。例如，考慮序列1，½，⅓，…，1/n。它可以表示為{1/n}。
可以使用序列定義序列。級數是序列項的總和。因此，對於每個序列，都有一個關聯序列，反之亦然。如果{an}是考慮中的序列，那麼由該序列構成的序列可以表示為：
因此，在上面的例子中，相關聯的序列是1+1/2+1/3+…+1/n+。
顧名思義，冪級數是級數的一種特殊類型，廣泛應用於數值分析和相關的數學建模中。泰勒級數是一種特殊的冪級數，它提供了一種表示已知函數的替代方法和易於操作的方法。
什麼是冪級數？
冪級數是形式的級數
它對於以c為中心的某個區間收斂（可能）。係數an可以是實數或複數，並且與x無關，即虛擬變量。
例如，通過為每個n設置an=1，並且c=0，得到冪級數1+x+x2+……+xn+。不難看出，當xε（-1,1）時，該冪級數收斂到1/（1-x）。
冪級數在x=c時收斂。冪級數收斂的x的其他值總是以c為中心的開區間的形式存在。也就是說，存在一個0≤R≤∞的值，使得對於滿足| x-c |≤R的每個x，冪級數是收斂的，並且對於滿足| x-c | gt；R的每個x，冪級數是發散的。這個值R稱為冪級數的收斂半徑（R可以取任何實數或正無窮大）。
冪級數可以用以下規則進行加、減、乘和除。考慮兩個冪級數：
.
然後，
i、 相似的術語加或減在一起。同樣，也可以用恆等式對兩個冪級數進行乘法和除法，
什麼是泰勒級數？
泰勒級數定義為在區間上無窮可微的函數f（x）。假設f（x）在以c為中心的區間上可微，則由
稱為函數f（x）關於c的泰勒級數展開式（這裡f（n）（c）表示x=c處的第n個導數）。在數值分析中，這種無限展開式中的有限數量的項用於計算級數收斂於原始函數的點處的值。
函數f（x）在區間（A，b）上是解析的，如果對於每個xε（A，b），f（x）的泰勒級數收斂到函數f（x）。例如，1/（1-x）在（-1,1）上解析，因為它的泰勒展開式1+x+x2+……+xn+…收斂到該區間上的函數，而ex在任何地方都是解析的，因為每個實數x的Taylor級數exconverge都是ex。
冪級數和泰勒級數有什麼區別？
1泰勒級數是一類特殊的冪級數，它只定義在某個開區間上無窮可微的函數。
2泰勒級數具有特殊的形式
然而，冪級數可以是任何形式的級數
