幂级数与泰勒级数

在数学中，实数序列是实数的有序列表。形式上，它是一个从自然数集合到实数集合的函数。如果ani是序列的第n项，我们用或用a1，a2，…，an，….来表示序列。例如，考虑序列1，½，⅓，…，1/n。它可以表示为{1/n}。

可以使用序列定义序列。级数是序列项的总和。因此，对于每个序列，都有一个关联序列，反之亦然。如果{an}是考虑中的序列，那么由该序列构成的序列可以表示为：

因此，在上面的例子中，相关联的序列是1+1/2+1/3+…+1/n+。

顾名思义，幂级数是级数的一种特殊类型，广泛应用于数值分析和相关的数学建模中。泰勒级数是一种特殊的幂级数，它提供了一种表示已知函数的替代方法和易于操作的方法。

什么是幂级数？

幂级数是形式的级数

它对于以c为中心的某个区间收敛（可能）。系数an可以是实数或复数，并且与x无关，即虚拟变量。

例如，通过为每个n设置an=1，并且c=0，得到幂级数1+x+x2+……+xn+。不难看出，当xε（-1,1）时，该幂级数收敛到1/（1-x）。

幂级数在x=c时收敛。幂级数收敛的x的其他值总是以c为中心的开区间的形式存在。也就是说，存在一个0≤R≤∞的值，使得对于满足| x-c |≤R的每个x，幂级数是收敛的，并且对于满足| x-c | gt；R的每个x，幂级数是发散的。这个值R称为幂级数的收敛半径（R可以取任何实数或正无穷大）。

幂级数可以用以下规则进行加、减、乘和除。考虑两个幂级数：

                               .

然后，

i、 相似的术语加或减在一起。同样，也可以用恒等式对两个幂级数进行乘法和除法，

什么是泰勒级数？

泰勒级数定义为在区间上无穷可微的函数f（x）。假设f（x）在以c为中心的区间上可微，则由

称为函数f（x）关于c的泰勒级数展开式（这里f（n）（c）表示x=c处的第n个导数）。在数值分析中，这种无限展开式中的有限数量的项用于计算级数收敛于原始函数的点处的值。

函数f（x）在区间（A，b）上是解析的，如果对于每个xε（A，b），f（x）的泰勒级数收敛到函数f（x）。例如，1/（1-x）在（-1,1）上解析，因为它的泰勒展开式1+x+x2+……+xn+…收敛到该区间上的函数，而ex在任何地方都是解析的，因为每个实数x的Taylor级数exconverge都是ex。

幂级数和泰勒级数有什么区别？

1泰勒级数是一类特殊的幂级数，它只定义在某个开区间上无穷可微的函数。

2泰勒级数具有特殊的形式

然而，幂级数可以是任何形式的级数