波動性是最常見的風險度量，但它有幾種不同的形式。在上一篇文章中，我們展示瞭如何計算簡單的歷史波動率。在本文中，我們將改進簡單波動率，並討論指數加權移動平均（EWMA）。

歷史波動率與隱含波動率

首先，讓我們從一個角度來看待這個指標。主要有兩種方法：歷史波動率和隱含（或隱含）波動率。歷史方法假定過去是序幕；我們衡量歷史是希望它具有預測性。另一方面，隱含波動率忽略了歷史；它解決了市場價格隱含的波動性。它希望市場最瞭解情況，希望市場價格包含（即使是隱含的）對波動性的一致估計。

如果我們只關註三種歷史方法（上圖左側），它們有兩個共同的步驟：

1. 計算週期性收益序列
2. 應用加權方案

首先，我們計算週期收益率。這通常是一系列的日收益率，其中每個收益率都是以連續複合的方式表示的。對於每一天，我們採用股票價格比率的自然對數（即今天的價格除以昨天的價格，依此類推）。

ui=LNSII−1where:ui=Return 當日isi=當日股價isi−1=前一天的股價\begin{aligned}&amp；u\u i=ln\frac{s\u i}{s\u i-1}}\\&amp\textbf{其中：}\\&amp；u\u i=\text{Return on day}i\\&amp；s\u i=\text{當日股價}i\\&amp；s{i-1}=\text{前一天股價}i\\\結束{對齊}​使用者介面​=印度標準協會−1​矽​​where:ui​=isi當天返回​=isi當日股價−1​=前日股價​

這會產生一系列從ui到ui-m的每日回報，這取決於我們測量的天數（m=天）。

這讓我們進入第二步：這是三種方法的不同之處。在上一篇文章中，我們展示了在幾個可接受的簡化條件下，簡單方差是平方收益的平均值：

方差=σn2=1米∑i=1毫米−12where:m=Number 天數n=日iu=平均回報率差\開始{對齊}&amp\text{Variance}=\sigma^2\u n=\frac{1}{m}\sum{i=1}^m u^2{n-1}\\&amp\textbf{其中：}\\&amp；m=\text{測量天數}\\&amp；n=\text{Day}i\\&amp；u=\text{收益率與平均收益率之差}\\\end{對齊}​方差=σ氮氣​=m1級​i=1∑米​聯合國−12​where:m=Number 天數n=日iu=收益率與平均收益率之差​

請註意，這將對每個定期回報進行求和，然後將該總和除以天數或觀察次數（m）。所以，它實際上只是週期收益的平方平均值。換言之，每個平方收益都有相等的權重。因此，如果α（a）是一個加權因子（具體來說，a=1/m），那麼一個簡單的方差如下所示：

EWMA改進了簡單方差這種方法的缺點是所有收益的權重相同。昨天（最近）的回報對方差的影響不比上個月的回報大。這個問題是透過使用指數加權移動平均法（EWMA）來解決的，在EWMA中，最近的收益對方差的權重更大。

指數加權滑動平均（EWMA）引入了lambda，稱為平滑引數。Lambda必須小於1。在這種情況下，每個平方收益率由一個乘數加權，而不是相等的權重，如下所示：

例如，金融風險管理公司RiskMetricsTM傾向於使用0.94的lambda，即94%。 在這種情況下，第一個（最近的）平方週期收益率加權（1-0.94）（.94）0=6%。下一個平方返回值只是之前權重的λ倍數；在這種情況下，6%乘以94%=5.64%。前三天的體重等於（1-0.94）（0.94）2=5.30%。

這就是EWMA中“指數”的含義：每個權重都是前一天權重的常數乘數（即lambda，必須小於1）。這確保了方差加權或偏向於較新的資料。谷歌的簡單波動率和EWMA的區別如下所示。

簡單波動率有效地將每個週期收益率加權0.196%，如O列所示（我們有兩年的每日股價資料）。即509日收益率和1/509=0.196%）。但是請註意，P列指定的權重是6%，然後是5.64%，然後是5.3%，以此類推。這是簡單方差和EWMA的唯一區別。

記住：當我們對整個序列求和之後（在Q列中），我們得到了方差，它是標準差的平方。如果我們想要波動性，我們需要記住取方差的平方根。

在谷歌的例子中，方差和EWMA的日波動率有什麼不同？這很有意義：簡單的方差給了我們2.4%的日波動率，而EWMA給我們的日波動率只有1.4%（詳見電子錶格）。顯然，谷歌的波動性最近才穩定下來；因此，一個簡單的方差可能是人為的高。

今天的方差是前一天方差的函式

你會註意到我們需要計算一長串指數遞減的權重。我們在這裡不做數學計算，但是EWMA的一個最好的特性是，整個序列可以方便地簡化為一個遞迴公式：

σn2（EWMA）=λσn−12+(1−λ)聯合國−12where:EWMA=Exponentially 加權移動平均σn2=今天的差異λ=加權程度σn−12=昨天大運−12=昨天返回的平方\begin{aligned}&amp\sigma^2\u n（\text{EWMA}）=\lambda\sigma^2\u{n-1}+（1-\lambda）u^2\u{n-1}\\&amp\textbf{其中：}\\&amp\text{EWMA}=\text{指數加權移動平均數}\\&amp\sigma^2\u n=\text{Variance today}\\&amp\lambda=\text{加權程度}\\&amp\sigma^2{n-1}=\text{Variance today}\\&amp；u^2{n-1}=\text{Squared return beday}\\\end{aligned}​σ氮氣​(EWMA公司）=λσn−12​+(1−λ)聯合國−12​where:EWMA=Exponentially 加權移動平均σ氮氣​=今天的變化λ=加權程度σn−12​=昨天大運−12​=昨天還清了​

遞迴是指今天的方差引用（即是函式）前一天的方差。您也可以在電子錶格中找到這個公式，它產生的結果與直接計算完全相同！它說：今天的方差（根據EWMA）等於昨天的方差（按λ加權）加上昨天的平方收益（按1減去λ加權）。請註意，我們只是將兩項相加：昨天的加權方差和昨天的加權平方收益。

即便如此，lambda是我們的平滑引數。較高的lambda（例如，像RiskMetric的94%）表示序列中的衰減較慢-相對而言，序列中的資料點會更多，它們的“衰減”也會更慢。另一方面，如果我們減少lambda，我們表示更高的衰減：權重下降得更快，作為快速衰減的直接結果，使用的資料點更少(在電子錶格中，lambda是一個輸入，因此您可以試驗它的靈敏度）。

總結

波動率是股票的瞬時標準差，也是最常見的風險度量。它也是方差的平方根。我們可以歷史地或隱含地測量方差（隱含波動率）。在歷史上衡量時，最簡單的方法是簡單的方差。但簡單方差的缺點是所有收益的權重相同。因此，我們面臨著一個典型的權衡：我們總是想要更多的資料，但我們擁有的資料越多，我們的計算就越被遙遠（不太相關）的資料沖淡。指數加權移動平均法（EWMA）透過對週期收益分配權重，改進了簡單方差法。透過這樣做，我們既可以使用大樣本量，但也給予更大的權重，最近的回報。