對期權進行估值可能是一件棘手的事情。考慮以下場景：2015年1月，IBM股價為155美元，您預計它將在未來一年走高。您打算以155美元的ATM執行價購買IBM股票的看漲期權，與以高買入價購買股票相比，基於較小的期權成本（期權溢價），預期從高百分比回報中獲益。

今天，有兩種不同的現成方法可用於價值選擇，包括Black-Scholes模型和二項式樹模型，它們可以提供快速的答案。但是，形成這種估值模型的潛在因素和驅動因素是什麼？基於這些模型的概念，可以準備類似的東西嗎？

在這裡，我們將介紹構建模組、基本概念和可作為框架用於構建期權等資產的估值模型的因素，並與Black-Scholes（BS）模型的起源進行併列比較。

本文並不打算質疑BS模型的假設或任何其他因素（這是一個完全不同的主題）；相反，它旨在解釋布萊克-斯科爾斯模型的基本概念，以及估值模型的發展思路。

布萊克·斯科爾斯之前的世界

在Black-Scholes之前，基於均衡的資本資產定價模型（CAPM）被廣泛採用。根據投資者的偏好，回報和風險是相互平衡的，即高風險投資者預期會得到類似比例的（潛在的）更高回報的補償。

BS模型源於CAPM。Fischer Black認為：“我將資本資產定價模型應用於權證生命中的每一個時刻，針對每一個可能的股價和權證價值。”不幸的是，CAPM無法滿足權證（期權）定價的要求。

Black-Scholes仍然是第一個基於套利概念的模型，從基於風險的模型（如CAPM）轉變為正規化。這種新的BS模型開發取代了CAPM股票回報概念，因為它認識到一個完美的對沖頭寸將獲得一個無風險的利率。這排除了風險和收益的變化，並建立了套利的概念，其中估值是在風險中性概念的假設下進行的——套期保值（無風險）頭寸應導致無風險收益率。

布萊克-斯科爾斯的發展

讓我們從確定問題、量化問題和開發解決方案的框架開始。我們繼續我們的例子，對IBM的ATM看漲期權進行估值，執行價為155美元，有效期為一年。

根據看漲期權的基本定義，除非股票價格達到執行價水平，否則回報率為零。在這一水平之後，收益呈線性增長（即，標的資產增加1美元，看漲期權將產生1美元的收益）。

假設買賣雙方就公允價值（包括零價格）達成一致，則該看漲期權的理論公允價格為：

• 看漲期權價格=0美元，如果基礎<行權（紅色 （圖表）
• 看漲期權價格=（基礎行使），如果基礎>=行使（藍色圖表）

這代表了期權的內在價值，從看漲期權買家的角度來看，這是完美的。在紅**域，買方和賣方都有一個公平的估價（賣方零價格，買方零回報）。然而，估值挑戰始於藍**域，因為買方具有正收益的優勢，而賣方則遭受損失（前提是基礎價格高於執行價格）。這就是買方比零價格賣方有優勢的地方。定價必須為非零，以補償賣方承擔的風險。

在前一種情況下（紅色圖表），理論上，賣方收到的價格為零，買方的潛在回報為零（對雙方都公平）。在後一種情況下（藍色圖表），標的與**之間的差額由賣方支付給買方。賣方的風險跨越一整年。例如，基礎股票價格可能會非常高（比如說四個月後達到200美元），賣方需要向買方支付45美元的差價。

因此，可以歸結為：

1. 標的債券的價格是否會超過執行價？
2. 如果是這樣的話，基礎價格能漲到多高（因為這將決定買家的回報）？

這表明賣方承擔了很大的風險，這就引出了一個問題：如果他們所承擔的風險得不到任何回報，為什麼有人會賣出這樣一個看漲期權？

我們的目標是得出一個單一的價格，賣方應向買方收費，這可以補償他在一年的時間內在零付款區（紅色）和線性付款區（藍色）承擔的總體風險。價格應該公平合理，買賣雙方都能接受。否則，在支付或接受不公平價格方面處於不利地位的人將不參與市場，從而破壞交易業務的目的。Black-Scholes模型的目的是透過考慮股票價格的不變變化、貨幣的時間價值、期權的行權價格和期權的到期時間來建立這種公平價格。與BS模型類似，讓我們看看如何使用我們自己的方法對示例進行評估。

如何評估藍**域的內在價值？

有幾種方法可用於預測給定時間範圍內未來的預期價格變動：

• 我們可以分析同一時期內類似的價格變動 最近的過去。IBM的歷史收盤價表明，在過去一年（1月。 2014年12月2日至。 價格從185.53美元跌至160.44美元， 下降了13.5%。 我們能否得出結論，IBM的價格變動幅度為-13.5%？
• 進一步的詳細調查顯示，該指數觸及年內高點199.21美元（2014年4月10日），年內低點150.5美元（2014年12月10日）。 16, 2014). 以1月1日開始計算。 2014年12月2日，收盤價185.53美元，百分比變化從+7.37%到-18.88%不等。現在，與先前計算的13.5%的跌幅相比，變化範圍看起來要大得多。

可以對歷史資料進行類似的分析和觀察。為了繼續我們的定價模型開發，讓我們假設這個簡單的方法來衡量未來的價格變化。

假設IBM每年增長10%（基於過去20年的歷史資料）。基本統計資料表明，假設歷史模式重覆，IBM股價在+10%左右變動的概率將遠遠高於IBM股價上漲20%或下跌30%的概率。透過收集具有概率值的類似歷史資料點，一年內IBM股價的整體預期收益率可以計算為概率和相關收益的加權平均值。例如，假設IBM的歷史價格資料表示以下移動：

• （-10%）在25%的時間裡，
• +35%的時候是10%，
• +15%在20%的時間裡，
• +20% 佔10% 無數次，
• +5%中的25% 次數 和
• （-15%）在5%的時間。

因此，加權平均值（或期望值）為：

(-10%*25% + 10%*35% + 15%*20% + 20%*10% + 25%*5% – 15%*5%)/100% = 6.5%

也就是說，平均而言，IBM股票的價格預計在一年內每1美元的回報率將達到+6.5%。如果有人以155美元的買入價買入一年期的IBM股票，預期凈回報率為155*6.5%=10.075美元。

不過，這是為了股票回報。我們需要為看漲期權尋找類似的預期回報。

基於低於執行價（現有155美元ATM）的買入零收益，所有的負向移動將產生零收益，而高於執行價的所有正向移動將產生相等的收益。因此，買入期權的預期回報為：

(-0%*25% + 10%*35% + 15%*20% + 20%*10% + 25%*5%—0%*5%)/100% = 9.75%

也就是說，每投資100美元購買這一期權，人們可以預期9.75美元（基於上述假設）。

然而，這仍然侷限於對期權內在價值的公允估值，並不能正確地反映期權賣方對中期可能出現的高波動所承擔的風險（在上述年內高和低價格的情況下）。除了內在價值，買方和賣方可以商定什麼價格，以便賣方在一年時間內承擔的風險得到公平補償？

這些波動可能有很大的不同，賣方可能有自己的解釋，他希望得到多少補償。布萊克-斯科爾斯模型假設歐式期權，即在到期日之前沒有行權。因此，它不受中間價格波動的影響，其估值基於端到端交易日。

在實際交易中，這種波動性對決定期權價格起著重要作用。我們通常看到的藍色支付函式實際上是到期日的支付。實際上，期權價格（粉色圖）總是高於收益（藍色圖），表明賣方為補償其冒險能力而採取的價格。這就是為什麼期權價格也被稱為期權“溢價”——本質上是指風險溢價。

這可以包含在我們的估值模型中，這取決於股票價格的預期波動性和預期收益率。

布萊克-斯科爾斯模型有效地做到了這一點（當然，在它自己的假設範圍內），如下所示：

C=S×N（d1）−十×e−rTN（d2）\begin{aligned}&amp\text{C}=\text{S}\times\text{N}（\text{d}u 1）-\text{X}\times e^{-rT}\text{N}（\text{d}u 2）\\ end{aligned}​C=S×N（d1）​)−十×e−rTN（d2）​)​

BS模型假設股票價格變動服從對數正態分佈，這證明瞭N（d1）和N（d2）的使用是合理的。

• 在第一部分中，S表示股票的當前價格。
• N（d1）表示股票當前價格變動的概率。

如果該期權的資金允許買方行使該期權，他將獲得一股基礎IBM股票。如果交易者今天行使期權，則S*N（d1）代表期權的當前預期價值。

在第二部分中，X表示執行價。

• N（d2）表示股價高於執行價的概率。
• 所以X*N（d2）代表股票價格的預期值 這個 執行價。

由於Black-Scholes模型假設歐式期權只有在最後才有可能行權，因此上述X*N（d2）表示的預期值應按貨幣的時間價值折現。因此，最後一部分乘以指數項，在一段時間內提高利率。

兩項的凈差額表示期權截至今天的價格價值（其中第二項是貼現的）

在我們的框架內，可以透過多種方式更準確地包含此類價格變動：

• 透過將區間擴大到更精細的區間，包括日內/年內價格變動，進一步完善預期收益率計算
• 包括反映當日活動的當日市場資料（類似於隱含波動率）
• 到期日的預期回報率，可貼現回當日進行實際估值，並從當日價值進一步降低

因此，我們可以看到，定量分析所選擇的假設、方法和定製沒有限制。根據要交易的資產或要考慮的投資，可以建立一個自行開發的模型。值得註意的是，不同資產類別的價格波動率變化很大股票有波動率偏差，外匯有波動率皺眉，使用者應在其模型中納入適用的波動率模式。假設和缺點是任何模型不可分割的一部分，在真實世界的交易場景中應用模型可以得到更好的結果。

底線

隨著複雜資產進入市場，甚至普通資產進入複雜的交易形式，定量建模和分析成為評估的必要條件。不幸的是，沒有一個數學模型是沒有缺點和假設的。最好的方法是將假設保持在最低限度，並意識到隱含的缺點，這有助於在模型的使用和適用性上劃清界限。