对期权进行估值可能是一件棘手的事情。考虑以下场景：2015年1月，IBM股价为155美元，您预计它将在未来一年走高。您打算以155美元的ATM执行价购买IBM股票的看涨期权，与以高买入价购买股票相比，基于较小的期权成本（期权溢价），预期从高百分比回报中获益。

今天，有两种不同的现成方法可用于价值选择，包括Black-Scholes模型和二项式树模型，它们可以提供快速的答案。但是，形成这种估值模型的潜在因素和驱动因素是什么？基于这些模型的概念，可以准备类似的东西吗？

在这里，我们将介绍构建模块、基本概念和可作为框架用于构建期权等资产的估值模型的因素，并与Black-Scholes（BS）模型的起源进行并列比较。

本文并不打算质疑BS模型的假设或任何其他因素（这是一个完全不同的主题）；相反，它旨在解释布莱克-斯科尔斯模型的基本概念，以及估值模型的发展思路。

布莱克·斯科尔斯之前的世界

在Black-Scholes之前，基于均衡的资本资产定价模型（CAPM）被广泛采用。根据投资者的偏好，回报和风险是相互平衡的，即高风险投资者预期会得到类似比例的（潜在的）更高回报的补偿。

BS模型源于CAPM。Fischer Black认为：“我将资本资产定价模型应用于权证生命中的每一个时刻，针对每一个可能的股价和权证价值。”不幸的是，CAPM无法满足权证（期权）定价的要求。

Black-Scholes仍然是第一个基于套利概念的模型，从基于风险的模型（如CAPM）转变为范式。这种新的BS模型开发取代了CAPM股票回报概念，因为它认识到一个完美的对冲头寸将获得一个无风险的利率。这排除了风险和收益的变化，并建立了套利的概念，其中估值是在风险中性概念的假设下进行的——套期保值（无风险）头寸应导致无风险收益率。

布莱克-斯科尔斯的发展

让我们从确定问题、量化问题和开发解决方案的框架开始。我们继续我们的例子，对IBM的ATM看涨期权进行估值，执行价为155美元，有效期为一年。

根据看涨期权的基本定义，除非股票价格达到执行价水平，否则回报率为零。在这一水平之后，收益呈线性增长（即，标的资产增加1美元，看涨期权将产生1美元的收益）。

假设买卖双方就公允价值（包括零价格）达成一致，则该看涨期权的理论公允价格为：

• 看涨期权价格=0美元，如果基础<行权（红色 （图表）
• 看涨期权价格=（基础行使），如果基础>=行使（蓝色图表）

这代表了期权的内在价值，从看涨期权买家的角度来看，这是完美的。在红**域，买方和卖方都有一个公平的估价（卖方零价格，买方零回报）。然而，估值挑战始于蓝**域，因为买方具有正收益的优势，而卖方则遭受损失（前提是基础价格高于执行价格）。这就是买方比零价格卖方有优势的地方。定价必须为非零，以补偿卖方承担的风险。

在前一种情况下（红色图表），理论上，卖方收到的价格为零，买方的潜在回报为零（对双方都公平）。在后一种情况下（蓝色图表），标的与**之间的差额由卖方支付给买方。卖方的风险跨越一整年。例如，基础股票价格可能会非常高（比如说四个月后达到200美元），卖方需要向买方支付45美元的差价。

因此，可以归结为：

1. 标的债券的价格是否会超过执行价？
2. 如果是这样的话，基础价格能涨到多高（因为这将决定买家的回报）？

这表明卖方承担了很大的风险，这就引出了一个问题：如果他们所承担的风险得不到任何回报，为什么有人会卖出这样一个看涨期权？

我们的目标是得出一个单一的价格，卖方应向买方收费，这可以补偿他在一年的时间内在零付款区（红色）和线性付款区（蓝色）承担的总体风险。价格应该公平合理，买卖双方都能接受。否则，在支付或接受不公平价格方面处于不利地位的人将不参与市场，从而破坏交易业务的目的。Black-Scholes模型的目的是通过考虑股票价格的不变变化、货币的时间价值、期权的行权价格和期权的到期时间来建立这种公平价格。与BS模型类似，让我们看看如何使用我们自己的方法对示例进行评估。

如何评估蓝**域的内在价值？

有几种方法可用于预测给定时间范围内未来的预期价格变动：

• 我们可以分析同一时期内类似的价格变动 最近的过去。IBM的历史收盘价表明，在过去一年（1月。 2014年12月2日至。 价格从185.53美元跌至160.44美元， 下降了13.5%。 我们能否得出结论，IBM的价格变动幅度为-13.5%？
• 进一步的详细调查显示，该指数触及年内高点199.21美元（2014年4月10日），年内低点150.5美元（2014年12月10日）。 16, 2014). 以1月1日开始计算。 2014年12月2日，收盘价185.53美元，百分比变化从+7.37%到-18.88%不等。现在，与先前计算的13.5%的跌幅相比，变化范围看起来要大得多。

可以对历史数据进行类似的分析和观察。为了继续我们的定价模型开发，让我们假设这个简单的方法来衡量未来的价格变化。

假设IBM每年增长10%（基于过去20年的历史数据）。基本统计数据表明，假设历史模式重复，IBM股价在+10%左右变动的概率将远远高于IBM股价上涨20%或下跌30%的概率。通过收集具有概率值的类似历史数据点，一年内IBM股价的整体预期收益率可以计算为概率和相关收益的加权平均值。例如，假设IBM的历史价格数据表示以下移动：

• （-10%）在25%的时间里，
• +35%的时候是10%，
• +15%在20%的时间里，
• +20% 占10% 无数次，
• +5%中的25% 次数 和
• （-15%）在5%的时间。

因此，加权平均值（或期望值）为：

(-10%*25% + 10%*35% + 15%*20% + 20%*10% + 25%*5% – 15%*5%)/100% = 6.5%

也就是说，平均而言，IBM股票的价格预计在一年内每1美元的回报率将达到+6.5%。如果有人以155美元的买入价买入一年期的IBM股票，预期净回报率为155*6.5%=10.075美元。

不过，这是为了股票回报。我们需要为看涨期权寻找类似的预期回报。

基于低于执行价（现有155美元ATM）的买入零收益，所有的负向移动将产生零收益，而高于执行价的所有正向移动将产生相等的收益。因此，买入期权的预期回报为：

(-0%*25% + 10%*35% + 15%*20% + 20%*10% + 25%*5%—0%*5%)/100% = 9.75%

也就是说，每投资100美元购买这一期权，人们可以预期9.75美元（基于上述假设）。

然而，这仍然局限于对期权内在价值的公允估值，并不能正确地反映期权卖方对中期可能出现的高波动所承担的风险（在上述年内高和低价格的情况下）。除了内在价值，买方和卖方可以商定什么价格，以便卖方在一年时间内承担的风险得到公平补偿？

这些波动可能有很大的不同，卖方可能有自己的解释，他希望得到多少补偿。布莱克-斯科尔斯模型假设欧式期权，即在到期日之前没有行权。因此，它不受中间价格波动的影响，其估值基于端到端交易日。

在实际交易中，这种波动性对决定期权价格起着重要作用。我们通常看到的蓝色支付函数实际上是到期日的支付。实际上，期权价格（粉色图）总是高于收益（蓝色图），表明卖方为补偿其冒险能力而采取的价格。这就是为什么期权价格也被称为期权“溢价”——本质上是指风险溢价。

这可以包含在我们的估值模型中，这取决于股票价格的预期波动性和预期收益率。

布莱克-斯科尔斯模型有效地做到了这一点（当然，在它自己的假设范围内），如下所示：

C=S×N（d1）−十×e−rTN（d2）\begin{aligned}&amp\text{C}=\text{S}\times\text{N}（\text{d}u 1）-\text{X}\times e^{-rT}\text{N}（\text{d}u 2）\\ end{aligned}​C=S×N（d1）​)−十×e−rTN（d2）​)​

BS模型假设股票价格变动服从对数正态分布，这证明了N（d1）和N（d2）的使用是合理的。

• 在第一部分中，S表示股票的当前价格。
• N（d1）表示股票当前价格变动的概率。

如果该期权的资金允许买方行使该期权，他将获得一股基础IBM股票。如果交易者今天行使期权，则S*N（d1）代表期权的当前预期价值。

在第二部分中，X表示执行价。

• N（d2）表示股价高于执行价的概率。
• 所以X*N（d2）代表股票价格的预期值 这个 执行价。

由于Black-Scholes模型假设欧式期权只有在最后才有可能行权，因此上述X*N（d2）表示的预期值应按货币的时间价值折现。因此，最后一部分乘以指数项，在一段时间内提高利率。

两项的净差额表示期权截至今天的价格价值（其中第二项是贴现的）

在我们的框架内，可以通过多种方式更准确地包含此类价格变动：

• 通过将区间扩大到更精细的区间，包括日内/年内价格变动，进一步完善预期收益率计算
• 包括反映当日活动的当日市场数据（类似于隐含波动率）
• 到期日的预期回报率，可贴现回当日进行实际估值，并从当日价值进一步降低

因此，我们可以看到，定量分析所选择的假设、方法和定制没有限制。根据要交易的资产或要考虑的投资，可以建立一个自行开发的模型。值得注意的是，不同资产类别的价格波动率变化很大股票有波动率偏差，外汇有波动率皱眉，用户应在其模型中纳入适用的波动率模式。假设和缺点是任何模型不可分割的一部分，在真实世界的交易场景中应用模型可以得到更好的结果。

底线

随着复杂资产进入市场，甚至普通资产进入复杂的交易形式，定量建模和分析成为评估的必要条件。不幸的是，没有一个数学模型是没有缺点和假设的。最好的方法是将假设保持在最低限度，并意识到隐含的缺点，这有助于在模型的使用和适用性上划清界限。