估计风险最常用的方法之一是使用蒙特卡罗模拟（MCS）。例如，为了计算一个投资组合的风险价值（VaR），我们可以运行一个蒙特卡罗模拟，在给定的置信区间内，在指定的时间范围内（我们总是需要为VaR指定两个条件：置信区间和时间范围）尝试预测一个投资组合的最坏可能损失。

在本文中，我们将使用金融学中最常见的模型之一：几何布朗运动（GBM）来回顾应用于股票价格的基本MCS。因此，虽然蒙特卡罗模拟可以参考各种不同的模拟方法，但我们将从最基本的方法开始。

从哪里开始

蒙特卡罗模拟是一种多次预测未来的尝试。在模拟结束时，成千上万的“随机试验”产生了可以分析的结果分布。基本步骤如下：

1.指定型号（如gbm）

在本文中，我们将使用几何布朗运动（GBM），它在技术上是一个马尔可夫过程。这意味着股票价格遵循随机游走，并且（至少）符合有效市场假说（EMH）的弱形式——过去的价格信息已经被纳入，下一个价格变动与过去的价格变动“有条件地独立”。

GBM的公式如下：

Δ不锈钢=μΔt+σϵΔtwhere:S=the 股票价格ΔS=股价变化μ=预期收益σ=收益标准差ϵ=随机变量\begin{aligned}&amp\frac{\Delta S}{S}\=\\mu\Delta t\+\\sigma\epsilon\sqrt{\Delta t}\\&amp\textbf{其中：}\\&amp；S=\text{股价}\\&amp\Delta S=\text{股价变化}\\&amp\mu=\text{the expected return}\\&amp\sigma=\text{收益的标准差}\\&amp\epsilon=\text{随机变量}\\&amp\Delta t=\text{经过的时间段}\end{对齐}​SΔS​ = μΔt+σϵΔt型​where:S=the 股票价格ΔS=股价变化μ=预期收益σ=收益标准差ϵ=随机变量​

​如果我们重新安排公式来解决股票价格的变化，我们会看到GBM说股票价格的变化是股票价格“S”乘以括号内的两个项：

ΔS=S× (μΔt+σϵΔt） \Delta S\=\S\\times\（\mu\Delta t\+\\sigma\epsilon\sqrt{\Delta t}）ΔS=S× (μΔt+σϵΔt型​)

第一项是“漂移”，第二项是“冲击”。对于每个时间段，我们的模型都假设价格会随着预期收益“漂移”上升。但是漂移会被随机冲击所震动（加或减）。随机冲击将是标准差“s”乘以随机数“e”。这只是一种标度标准差的方法。

这就是GBM的本质，如图1所示。股票价格遵循一系列步骤，其中每个步骤都是一个漂移加上或减去一个随机冲击（本身是股票标准差的函数）：

图1

2.生成随机试验

有了模型规范，我们就可以进行随机试验。为了说明这一点，我们使用microsoftexcel进行了40次试验。请记住，这是一个不现实的小样本；大多数模拟或“模拟人生”至少运行几千次试验。

在这种情况下，让我们假设股票从第0天开始，价格为10美元。下面是一个结果图表，其中每个时间步（或间隔）为一天，系列运行10天（总结：40次试验，每天步骤超过10天）：

图2：几何布朗运动

结果是在10天结束时模拟40个股票价格。没有一个跌破9美元，一个跌破11美元。

3.处理输出

模拟产生了假设未来结果的分布。我们可以用输出做几件事。

例如，如果我们想用95%的置信度来估计VaR，那么我们只需要找到排名第38的结果（第三差的结果）。这是因为2/40等于5%，所以两个最差的结果是最低的5%。

如果我们将显示的结果堆叠到多个箱子中（每个箱子是$1的三分之一，因此三个箱子涵盖了$9到$10的区间），我们将得到以下直方图：

记住，我们的GBM模型假设正态性；价格回报是正态分布的预期回报（平均值）“m”和标准差“s”。有趣的是，我们的直方图看起来并不正常。事实上，随着更多的试验，它将不会趋于正常。相反，它将倾向于对数正态分布：一个急剧下降到左边的平均数和一个高度倾斜的“长尾”到右边的平均数。

对于初学的学生来说，这往往会导致潜在的混乱：

• 价格回报是正态分布的。
• 价格水平是对数正态分布。

可以这样想：一只股票的回报率可以上升或下降5%或10%，但经过一段时间后，股价不能为负。此外，上涨的价格会产生复合效应，而下跌的价格会减少基数：损失10%，下次损失的就更少了。

这是一张对数正态分布图，叠加在我们的假设上（例如，起价10美元）：

底线

蒙特卡罗模拟将选定的模型（指定仪器的行为）应用于大量随机试验，试图产生一组可能的未来结果。在模拟股票价格方面，最常用的模型是几何布朗运动（GBM）。GBM假设恒定漂移伴随随机冲击。虽然GBM下的周期收益是正态分布的，但随后的多周期（例如10天）价格水平是对数正态分布的。