你走在俄罗斯圣彼得堡的大街上，一位老人提议玩下面的游戏。他掷了一枚硬币（如果你不相信他的硬币是公平的，他会向你借一枚）。如果它落在尾部，那么你就输了，游戏就结束了。如果硬币正面着地，那么你赢了一卢布，游戏继续。硬币又被抛了。如果是反面，那么游戏结束。如果是正面的，那么你将额外赢得两卢布。游戏继续以这种方式进行。对于每一个连续的头部，我们从上一轮的赢款翻倍，但在第一个尾部的迹象，游戏结束了。

玩这个游戏你要付多少钱？当我们考虑这个游戏的预期价值时，你应该抓住机会，不管付出什么代价。然而，从上面的描述来看，你可能不愿意付出太多。毕竟，有50%的概率一无所获。这就是所谓的圣彼得堡悖论，因1738年圣彼得堡帝国科学院丹尼尔·伯努利评论的出版而得名。

一些概率

让我们从计算与此游戏相关的概率开始。一枚公平的硬币正面着地的概率是1/2。每次抛硬币都是一个独立的事件，因此我们可能使用树形图来乘以概率。

• 一行中两个头的概率为（1/2））x（1/2）=1/4。
• 一排三个头的概率为（1/2）x（1/2）x（1/2）=1/8。
• 为了表示一行中n个头的概率，其中n是正整数，我们使用指数来表示1/2n。

一些支出

现在让我们继续，看看我们是否能概括出每一轮的赢款情况。

• 如果你在第一轮中领先，那一轮你赢一卢布。
• 如果在第二轮中有一个人头，你在那一轮中赢了两卢布。
• 如果第三轮有一个人头，那么你在那一轮中赢了四卢布。
• 如果你有足够的运气进入第n轮，那么你将在那轮比赛中赢得2n-1卢布。

游戏的预期价值

一个游戏的期望值告诉我们，如果你玩了很多次游戏，平均赢款是多少。为了计算期望值，我们将每轮赢款的价值与进入这一轮的概率相乘，然后将所有这些产品相加。

• 从第一轮开始，你有1/2的概率，赢1卢布：1/2x1=1/2
• 从第二轮开始，概率为1/4，赢下2卢布：1/4 x 2=1/2
• 从第一轮开始，你有1/8的概率，赢4卢布：1/8 x 4=1/2
• 从第一轮开始，你有1/16的概率，赢了8卢布：1/16 x 8=1/2
• 从第一轮开始，概率为1/2n，赢下2n-1卢布：1/2n x 2n-1=1/2

每轮的值为1/2，将前n轮的结果加在一起，我们得到的预期值为n/2卢布。因为n可以是任何正整数，所以期望值是无限的。

悖论

那你应该付多少钱去玩呢？从长远来看，一卢布、一千卢布甚至十亿卢布都将低于预期价值。尽管上面的计算保证了数不清的财富，我们仍然不愿意花很多钱去玩。

解决这一矛盾的方法有很多。一个简单的方法是，没有人会提供像上面描述的那样的游戏。没有人有足够的资源来支付那些继续胡思乱想的人。

解决这一矛盾的另一种方法是指出，连续得到20个人头是多么不可能。这种情况发生的几率比赢得大多数州彩票要好。人们通常以5美元或更少的价格玩这种彩票。因此，玩圣彼得堡游戏的价格可能不会超过几美元。

如果圣彼得堡的人说玩他的游戏需要花费比几卢布更多的钱，你应该礼貌地拒绝并走开。无论如何，卢布值不了多少钱。