什么是发电机组？(the power set?)

集合论中的一个问题是一个集合是否是另一个集合的子集。A的子集是通过使用集合A中的一些元素形成的集合。为了使B成为A的子集，B的每个元素也必须是A的元素。...

集合论中的一个问题是一个集合是否是另一个集合的子集。A的子集是通过使用集合A中的一些元素形成的集合。为了使B成为A的子集，B的每个元素也必须是A的元素。

每个集合都有几个子集。有时需要知道所有可能的子集。一种称为动力装置的结构有助于这一努力。集合A的幂集合是一个集合，其中的元素也是集合。该幂集由给定集a的所有子集组成。

例1

我们将考虑两个幂集的例子。对于第一个，如果我们从集合A={1，2，3}开始，那么幂集合是什么？我们继续列出A的所有子集。

空集是a的子集。事实上，空集是每个集合的子集。这是唯一没有A元素的子集。
集合{1}、{2}、{3}是只有一个元素的集合的唯一子集。
集合{1，2}，{1，3}，{2，3}是具有两个元素的A的唯一子集。
每个集合都是其自身的子集。因此A={1，2，3}是A的子集。这是唯一有三个元素的子集。

A A A

例2

对于第二个例子，我们将考虑B= { 1, 2, 3，4 }的幂集。我们上面所说的大部分内容是相似的，如果现在不完全相同的话：

空集和B都是子集。
因为B有四个元素，所以有四个子集有一个元素：{1}，{2}，{3}，{4}。
因为三个元素的每一个子集都可以通过从B中去掉一个元素而形成，并且有四个元素，所以有四个这样的子集：{1,2,3}，{1,2,4}，{1,3,4}，{2,3,4}。
仍然需要确定具有两个元素的子集。我们正在形成从4个元素中选择的两个元素的子集。这是一个组合，其中有C（4，2）=6个组合。子集是：{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}。

B B

符号

有两种方法表示集合a的幂集。表示这一点的一种方法是使用符号P（A），其中有时这个字母P是用样式化脚本编写的。A的幂集的另一种表示法是2A。此符号用于将电源组连接到电源组中的元件数量。

电源组的大小

我们将进一步研究这个符号。如果A是一个有n个元素的有限集，那么它的幂集P（A）将有2n个元素。如果我们使用的是一个无限集，那么考虑2n个元素是没有帮助的。然而，康托定理告诉我们，一个集合的基数和它的幂集合不能相同。

可数无穷集的幂集的基数是否与实数的基数匹配，这是数学中的一个悬而未决的问题。这个问题的解决方法是相当技术性的，但是说我们可以选择对基数进行识别，也可以不进行识别。两者都导致了一致的数学理论。

概率中的幂集

概率论是以集合论为基础的。我们讨论的不是通用集和子集，而是样本空间和事件。有时，在使用样本空间时，我们希望确定该样本空间的事件。我们拥有的样本空间的幂集将为我们提供所有可能的事件。

发表于 2021-10-17 01:06
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分类：数学

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