什么是扩大对数？(expanding logarithms?)

许多方程可以通过扩大对数来简化。术语 "扩大对数 "并不是指扩大的对数，而是指一个数学表达式根据特定的规则被替换成另一个表达式的过程。有三个这样的规则。每一条都对应于指数的一个特定属性，因为取对数是指数化的函数逆运算：log3（9）=2，因为32=9。...

Expanding logarithms enable equations to be solved.

许多方程可以通过扩大对数来简化。术语 "扩大对数 "并不是指扩大的对数，而是指一个数学表达式根据特定的规则被替换成另一个表达式的过程。有三个这样的规则。每一条都对应于指数的一个特定属性，因为取对数是指数化的函数逆运算：log3（9）=2，因为32=9。

最常见的扩大对数的规则是用来分离积。乘积的对数是各自的对数之和：loga(x*y) = loga(x) + loga(y)。这个方程是由公式ax * ay = ax+y得出的。它可以扩展到多个因素：loga(x*y*z*w) = loga(x) + loga(y) + loga(z) + loga(w) 。

将一个数字提高到负数，相当于将其倒数提高到正数：5-2=（1/5）2=1/25。对数的等效性质是：loga(1/x)=-loga(x)。当这个属性与乘积法则相结合时，它提供了一个取比值对数的规律：loga(x/y) = loga(x) - loga(y)。

扩大对数的最后一条规则涉及到一个数字的对数提高到一个幂。使用乘积规则，我们发现loga(x2)=loga(x)+loga(x)=2*loga(x)。类似地，loga(x3)=loga(x)+loga(x)+loga(x)=3*loga(x)。一般来说，loga(xn)=n*loga(x)，即使n不是一个整数。

这些规则可以结合起来扩展具有更复杂特征的log表达式。例如，我们可以将第二条规则应用于loga(x2y/z)，得到表达式loga(x2y)-loga(z)。然后将第一条规则应用于第一项，得到loga(x2)+loga(y)-loga(z)。最后，应用第三条规则可以得到表达式2*loga(x)+loga(y)-loga(z)。

扩大对数可以快速解决许多方程的问题。例如，有人可能用400美元开一个储蓄账户。如果该账户的年利息为2%，按月复利计算，在账户价值翻倍之前所需的月数可以用公式400*(1+0.02/12)m=800来计算。除以400，得到(1+0.02/12)m=2。对两边都取10进制的对数，就可以得到方程式log10(1+0.02/12)m=log10(2)。

这个方程可以用幂律简化为m*log10（1+0.02/12）=log10（2）。用计算器求对数可以得到m*(0.00072322) = 0.30102。求解m后发现，如果不存入额外的钱，需要417个月才能使账户价值翻倍。

发表于 2022-02-10 17:46
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分类：科学

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