如何找到团结的根源(find roots of unity)

复数可以用极坐标形式z=reiθ，{\displaystyle z=re^{i\theta}，其中r{\displaystyle r}是复数的大小，θ{\displaystyle\theta}是参数或相位。用欧拉公式推导德莫伊夫公式在极坐标zn=rneinθ{\displaystyle z^{n}=r^{n}e^{inθ}中的推广变得非常容易，因为指数函数比三角函数更容易处理。我们也可以把它推广到...

第1部分第1部分，共2部分：统一的第三根

1找到团结的第三根。求单位根意味着我们在复平面上求出所有的数，当提升到三次方时，得到1。当我们考虑方程X3−1=0，{\displaystyle x^{3}-1=0，}我们知道其中一个零是1。但是从代数的基本定理，我们知道每一个n{\displaystyle n}次多项式都有n{\displaystyle n}复数根。因为这是一个三次方程，有三个根，其中两个在复平面上。在寻找这两个剩余的根时，我们不能再局限于处理实数。z3=1{\displaystyle z^{3}=1}
2将z{\displaystyle z}与其根相关联。我们知道复数可以写成z=reiθ。{\displaystyle z=re^{i\theta}但回想一下极坐标，以极坐标形式书写的数字并不是唯一定义的。将2π{\displaystyle 2\pi}的任意倍数相加，也会得到相同的数字。下面是符号k∈Z{\displaystyle k\in\mathbb{Z}表示k{\displaystyle k}是任意整数。z=rei（θ+2πk），k∈Z{\displaystyle Z=re^{i（\theta+2\pik）}，\\k\in\mathbb{Z}将Z{\displaystyle Z}提高到三分之一的幂。由于我们想避免函数的多值化，我们必须将参数的域限制为θ：[0,2π）。{\displaystyle\theta:[0,2\pi.}因此，k=0,1,2。{\displaystyle k=0,1,2.}一般来说，通过替换k=0,1，⋯,M−1.{\displaystyle k=0,1\cdots，m-1.}z1/3=r1/3ei（θ+2πk3）{\displaystyle z^{1/3}=r^{1/3}e^{i\left（{\frac{\theta+2\pik}{3}\right）}
3为r{\displaystyle r}和θ{\displaystyle\theta}替换适当的值。因为我们找到了统一的根，r=1{\displaystyle r=1}，θ=0。{\displaystyle\theta=0.}换句话说，所有的根都位于单位圆上。11/3=ei2πk/3=cos⁡2πk3+isin⁡2πk3，k=0,1,2{\displaystyle 1^{1/3}=e^{i2\pik/3}=\cos{\frac{2\pik}{3}}+i\sin{\frac{2\pik}{3}，\k=0,1,2}
4.评估。当根绘制在复杂平面上时，它们形成一个等边三角形，其中一个顶点位于点z=1上。{\displaystyle z=1.}此外，复数根以共轭对的形式出现。11/3=1,−12+32i，−12−32i{\displaystyle 1^{1/3}=1、{\frac{1}{2}}+{\frac{\sqrt{3}}{2}}i、{\frac{1}{2}-{\frac{\sqrt{3}}{2}i}
5想象团结的根源。上面的曲线图是函数z3的复杂曲线图−1.{\displaystyle z^{3}-1.}亮度从黑色开始，随着亮度的增加而变亮。色调从红色开始，穿过色轮，对应于从0{\displaystyle 0}到2π的角度。{\displaystyle 2\pi.}（更准确地说，对于每个π/3，{\displaystyle\pi/3，}颜色从红色、黄色、绿色、青色、蓝色、洋红再次变为红色。）作为解释的起点，我们看到在实轴上，函数将原点映射为-1。这在图上用青色表示，即eiπ=−1，{\displaystyle e^{i\pi}=-1，}而左侧亮度的增加意味着函数越来越小。同时，x&gt；的实际轴为红色；1，{\displaystyle x&gt；1，}并且变得更亮。我们可以清楚地看到零是三个黑点，它们形成一个等边三角形。