複利是按初始本金計算的利息，也是按存款或貸款以前期間的累計利息計算的利息。複利的效果取決於頻率。

假設年利率為12%。如果我們以100美元開始一年，只複利一次，到年底，本金增長到112美元（100 x 1.12=112美元）。僅適用於本金的利息稱為單利。如果我們改為每月按1%的比例複利，那麼到了年底，我們的收入將超過112美元。也就是說，$100x1.01^12等於$112.68(它更高，因為我們複合的頻率更高。）

連續複利是所有複利中複利頻率最高的。連續複利是複利可以達到的數學極限。這是一種極端的複利情況，因為大多數利息是按月、按季度或半年複利的。

關鍵要點

• 單利只適用於本金，不適用於任何累計利息。
• 複利是指本金和以前使用的利息的累計利息。
• 複利的效果取決於它的使用頻率。
• 對於債券，債券等價收益率是預期的年回報率。
• 連續複利收益在多個時期內不斷擴大。
• 利率複利的最高頻率被稱為連續複利。

半年回報率

首先，讓我們看看一個可能令人困惑的約定。在債券市場中，我們指的是債券等價收益率（或債券等價基礎）。這意味著，如果一隻債券每半年收益率為6%，其債券等價收益率為12%。

每半年的產量只是翻了一番。這可能令人困惑，因為12%債券等價收益債券的有效收益率為12.36%（即1.06^2=1.1236）。半年收益率翻番只是一種債券命名慣例。因此，如果我們看到一個8%的債券半年複利，我們假設這是指4%的半年收益率。

季度、月度和每日回報率

現在，讓我們討論更高的頻率。我們仍在假定每年12%的市場利率。根據債券命名慣例，這意味著半年複合利率為6%。現在我們可以將季度複合利率作為市場利率的函式來表示。

給定年度市場利率（r），季度複合利率（rq）由以下公式得出：

rq=4[（r2+1）12−1] \開始{對齊}&amp；rq=4\left[\left（\frac{r}{2}+1\right）^\frac{1}{2}-1\right]\\\end{aligned}​rq公司​=4[（2r）​+1)21​−1]​

例如，年市場利率為12%，季度複合利率為11.825%：

rq=4[（12%2+1）12−1]≅11.825%\開始{對齊}&amp；r\u q=4\左[\左（\frac{12\%}{2}+1\右）^\frac{1}{2}-1\右]\從11.825\%\\結束{對齊}​rq公司​=4[(212%​+1)21​−1]≅11.825%​

類似的邏輯也適用於月度複利。月複合利率（rm）作為年市場利率（r）的函式給出：

rm=12[（r2+1）16−1]=12[(12%2+1)16−1]≅11.71%\begin{aligned}r\u m&amp；=12\左[\left（\frac{r}{2}+1\右）^\frac{1}{6}-1\右]\\&amp；=12\左[\left（\frac{12\%}{2}+1\右）^\frac{1}{6}-1\右]\\&amp\聰11.71\%\\\end{aligned}rm​​=12[（2r）​+1)61​−1]=12[(212%​+1)61​−1]≅11.71%​

日複合利率（d）作為市場利率（r）的函式，由下式給出：

rd=360[（r2+1）1180−1]=360[(12%2+1)1180−1]≅11.66%\begin{aligned}r\u d&amp；=360\左[\left（\frac{r}{2}+1\右）^\frac{1}{180}-1\右]\\&amp；=360\左[\left（\frac{12\%}{2}+1\右）^\frac{1}{180}-1\右]\\&amp\叢11.66\%\\結束{對齊}路​​=360[（2r）​+1)1801​−1]=360[(212%​+1)1801​−1]≅11.66%​

連續復配的工作原理

如果我們把複合頻率提高到極限，我們就是在不斷複合。雖然這可能並不實際，但持續複合利率提供了非常方便的特性。結果表明，連續複合利率由以下公式得出：

rcontinuous=ln（1+r）\begin{aligned}&amp；r\u{continun}=\ln（1+r）\\\end{aligned}​連續的​=ln（1+r）​

時間增量越小，獲得的利息就越少。

Ln（）是自然對數，在我們的示例中，連續複合速率為：

R連續=ln（1+0.12）=ln（1.12）≅11.33%\開始{對齊}&amp；r{continuous}=\ln（1+0.12）=\ln（1.12）\cong 11.33\%\\\end{aligned}​R連續​=ln（1+0.12）=ln（1.12）≅11.33%​

我們透過取這個比率的自然對數得到相同的位置：結束值除以起始值。

rcontinuous=ln（ValueEndValueStart）=ln（112100）≅11.33%\開始{對齊}&amp；r{continuous}=\ln\left（\frac{\text{Value}\uext{End}}{\text{Value}\uext{Start}}\right）=\ln\left（\frac{112}{100}\right）\cong 11.33\%\\\End{aligned}​R連續​=ln（值開始​值結束​​)=項次（100112）​)≅11.33%​

後者在計算股票的連續複合收益率時很常見。例如，如果股票從一天的10美元跳到第二天的11美元，則連續複合日回報率由下式給出：

rcontinuous=ln（ValueEndValueStart）=ln（$11$10）≅9.53%\開始{對齊}&amp；r{continuous}=\ln\left（\frac{\text{Value}\ext{End}}{\text{Value}\utext{Start}}\right）=\ln\left（\frac{\$11}{\$10}\right）\cong 9.53\%\\\End{aligned}​R連續​=ln（值開始​值結束​​)=ln（10美元11美元）​)≅9.53%​

對於連續複合利率（或收益率），我們用rc表示什麼呢？首先，很容易將其向前擴充套件。鑒於（P）的本金，我們在（n）年內的最終財富由以下機構提供：

w=Percn\begin{aligned}&amp；w=Pe^{r\u c n}\\\結束{對齊}​w=百分比​n​

註意e是指數函式。例如，如果我們從100美元開始，併在三年內以8%的比例連續複利，那麼最終的財富是：

w=$100e（0.08）（3）=$127.12\開始{對齊}&amp；w=\$100e^{（0.08）（3）}=\$127.12\\\結束{對齊}​w=$100e（0.08）（3）=$127.12​

折現為現值（PV）只是反向複利，因此以（rc）的比率連續複利的未來價值（F）的現值由下式給出：

（n）年內收到的F的PV=Fercn=Fe−rcn\開始{對齊}&amp\text{PV of F received in（n）years}=\frac{F}{e^{r\u c n}}}=Fe^{-r\u c n}\\\ end{aligned}​（n）年內收到的F的PV=erc​納法​=鐵−鋼筋混凝土​n​

例如，如果您將在三年內以6%的連續利率獲得100美元，則其現值由下式給出：

PV=鐵−rcn=（100美元）e−(0.06）（3）=100e美元−0.18≅$83.53\開始{對齊}&amp\text{PV}=Fe^{-r\ucn}=（\$100）e^{-（0.06）（3）}=\$100 e^{-0.18}\cong\$83.53\\\end{aligned}​PV=鐵−鋼筋混凝土​n=（100美元）e−(0.06）（3）=100e美元−0.18≅$83.53​

跨多個週期縮放

連續複合收益的便利性在於它可以在多個時期內擴充套件。如果第一期回報率為4%，第二期回報率為3%，那麼兩期回報率為7%。假設我們以100美元開始一年，第一年年底增長到120美元，第二年年底增長到150美元。連續複合收益率分別為18.23%和22.31%。

項次（120100）≅18.23%\開始{對齊}&amp\ln\左（\frac{120}{100}\右）\cong 18.23\%\\\end{aligned}​ln（100120）​)≅18.23%​

ln（150120）≅22.31%\開始{對齊}&amp\ln\左（\frac{150}{120}\右）\cong 22.31\%\\\end{aligned}​ln（120150）​)≅22.31%​

如果我們把這些加起來，我們得到40.55%。這是兩期回報：

ln（150100）≅40.55%\開始{對齊}&amp\ln\左（\frac{150}{100}\右）\cong 40.55\%\\結束{對齊}​ln（100150）​)≅40.55%​

從技術上講，連續收益是時間一致的。時間一致性是風險價值（VAR）的技術要求。這意味著，如果單期收益率是正態分佈的隨機變數，我們希望多期隨機變數也是正態分佈的。此外，多期連續複合收益率是正態分佈的（不同於簡單的百分比收益率）。

連續復配常見問題

連續複合是什麼意思？

連續複利意味著利息複利的頻率沒有限制。複利可以持續發生無限次，這意味著餘額一直在賺取利息。

複合是不是每天都是複合的？

連續複利是指利息每時每刻都在複利，即使是在最小的可量化時間段。因此，複合持續發生的頻率比每天都高。

為什麼使用連續復配？

連續複合用於顯示當利息不斷累積時，餘額能掙多少。對於投資者來說，他們可以計算出他們期望從不斷複合利率的投資中獲得多少。

離散的(discrete)和連續復配(continuous compounding)的區別

離散複利適用於特定時間的利息，如每日、每月、每季度或每年。離散複利明確定義了利息的使用時間。連續複利在每一個時刻持續地應用利息。

每年複利(compounding annually)和連續不斷地(continuously)的區別

每年複利是指每年對本金和以前累計的利息支付利息；而連續複利是指每時每刻對本金和累計利息進行複利。連續複利沒有一部分時間不適用利息。

底線

我們可以將年度利率重新調整為半年利率、季度利率、月利率或每日利率（或收益率）。最常見的複合是連續複合，這要求我們使用自然對數和指數函式，因為它的理想性質在金融中常用。複合連續返回比例容易在多個週期和時間一致。