复利是按初始本金计算的利息，也是按存款或贷款以前期间的累计利息计算的利息。复利的效果取决于频率。

假设年利率为12%。如果我们以100美元开始一年，只复利一次，到年底，本金增长到112美元（100 x 1.12=112美元）。仅适用于本金的利息称为单利。如果我们改为每月按1%的比例复利，那么到了年底，我们的收入将超过112美元。也就是说，$100x1.01^12等于$112.68(它更高，因为我们复合的频率更高。）

连续复利是所有复利中复利频率最高的。连续复利是复利可以达到的数学极限。这是一种极端的复利情况，因为大多数利息是按月、按季度或半年复利的。

关键要点

• 单利只适用于本金，不适用于任何累计利息。
• 复利是指本金和以前使用的利息的累计利息。
• 复利的效果取决于它的使用频率。
• 对于债券，债券等价收益率是预期的年回报率。
• 连续复利收益在多个时期内不断扩大。
• 利率复利的最高频率被称为连续复利。

半年回报率

首先，让我们看看一个可能令人困惑的约定。在债券市场中，我们指的是债券等价收益率（或债券等价基础）。这意味着，如果一只债券每半年收益率为6%，其债券等价收益率为12%。

每半年的产量只是翻了一番。这可能令人困惑，因为12%债券等价收益债券的有效收益率为12.36%（即1.06^2=1.1236）。半年收益率翻番只是一种债券命名惯例。因此，如果我们看到一个8%的债券半年复利，我们假设这是指4%的半年收益率。

季度、月度和每日回报率

现在，让我们讨论更高的频率。我们仍在假定每年12%的市场利率。根据债券命名惯例，这意味着半年复合利率为6%。现在我们可以将季度复合利率作为市场利率的函数来表示。

给定年度市场利率（r），季度复合利率（rq）由以下公式得出：

rq=4[（r2+1）12−1] \开始{对齐}&amp；rq=4\left[\left（\frac{r}{2}+1\right）^\frac{1}{2}-1\right]\\\end{aligned}​rq公司​=4[（2r）​+1)21​−1]​

例如，年市场利率为12%，季度复合利率为11.825%：

rq=4[（12%2+1）12−1]≅11.825%\开始{对齐}&amp；r\u q=4\左[\左（\frac{12\%}{2}+1\右）^\frac{1}{2}-1\右]\从11.825\%\\结束{对齐}​rq公司​=4[(212%​+1)21​−1]≅11.825%​

类似的逻辑也适用于月度复利。月复合利率（rm）作为年市场利率（r）的函数给出：

rm=12[（r2+1）16−1]=12[(12%2+1)16−1]≅11.71%\begin{aligned}r\u m&amp；=12\左[\left（\frac{r}{2}+1\右）^\frac{1}{6}-1\右]\\&amp；=12\左[\left（\frac{12\%}{2}+1\右）^\frac{1}{6}-1\右]\\&amp\聪11.71\%\\\end{aligned}rm​​=12[（2r）​+1)61​−1]=12[(212%​+1)61​−1]≅11.71%​

日复合利率（d）作为市场利率（r）的函数，由下式给出：

rd=360[（r2+1）1180−1]=360[(12%2+1)1180−1]≅11.66%\begin{aligned}r\u d&amp；=360\左[\left（\frac{r}{2}+1\右）^\frac{1}{180}-1\右]\\&amp；=360\左[\left（\frac{12\%}{2}+1\右）^\frac{1}{180}-1\右]\\&amp\丛11.66\%\\结束{对齐}路​​=360[（2r）​+1)1801​−1]=360[(212%​+1)1801​−1]≅11.66%​

连续复配的工作原理

如果我们把复合频率提高到极限，我们就是在不断复合。虽然这可能并不实际，但持续复合利率提供了非常方便的特性。结果表明，连续复合利率由以下公式得出：

rcontinuous=ln（1+r）\begin{aligned}&amp；r\u{continun}=\ln（1+r）\\\end{aligned}​连续的​=ln（1+r）​

时间增量越小，获得的利息就越少。

Ln（）是自然对数，在我们的示例中，连续复合速率为：

R连续=ln（1+0.12）=ln（1.12）≅11.33%\开始{对齐}&amp；r{continuous}=\ln（1+0.12）=\ln（1.12）\cong 11.33\%\\\end{aligned}​R连续​=ln（1+0.12）=ln（1.12）≅11.33%​

我们通过取这个比率的自然对数得到相同的位置：结束值除以起始值。

rcontinuous=ln（ValueEndValueStart）=ln（112100）≅11.33%\开始{对齐}&amp；r{continuous}=\ln\left（\frac{\text{Value}\uext{End}}{\text{Value}\uext{Start}}\right）=\ln\left（\frac{112}{100}\right）\cong 11.33\%\\\End{aligned}​R连续​=ln（值开始​值结束​​)=项次（100112）​)≅11.33%​

后者在计算股票的连续复合收益率时很常见。例如，如果股票从一天的10美元跳到第二天的11美元，则连续复合日回报率由下式给出：

rcontinuous=ln（ValueEndValueStart）=ln（$11$10）≅9.53%\开始{对齐}&amp；r{continuous}=\ln\left（\frac{\text{Value}\ext{End}}{\text{Value}\utext{Start}}\right）=\ln\left（\frac{\$11}{\$10}\right）\cong 9.53\%\\\End{aligned}​R连续​=ln（值开始​值结束​​)=ln（10美元11美元）​)≅9.53%​

对于连续复合利率（或收益率），我们用rc表示什么呢？首先，很容易将其向前扩展。鉴于（P）的本金，我们在（n）年内的最终财富由以下机构提供：

w=Percn\begin{aligned}&amp；w=Pe^{r\u c n}\\\结束{对齐}​w=百分比​n​

注意e是指数函数。例如，如果我们从100美元开始，并在三年内以8%的比例连续复利，那么最终的财富是：

w=$100e（0.08）（3）=$127.12\开始{对齐}&amp；w=\$100e^{（0.08）（3）}=\$127.12\\\结束{对齐}​w=$100e（0.08）（3）=$127.12​

折现为现值（PV）只是反向复利，因此以（rc）的比率连续复利的未来价值（F）的现值由下式给出：

（n）年内收到的F的PV=Fercn=Fe−rcn\开始{对齐}&amp\text{PV of F received in（n）years}=\frac{F}{e^{r\u c n}}}=Fe^{-r\u c n}\\\ end{aligned}​（n）年内收到的F的PV=erc​纳法​=铁−钢筋混凝土​n​

例如，如果您将在三年内以6%的连续利率获得100美元，则其现值由下式给出：

PV=铁−rcn=（100美元）e−(0.06）（3）=100e美元−0.18≅$83.53\开始{对齐}&amp\text{PV}=Fe^{-r\ucn}=（\$100）e^{-（0.06）（3）}=\$100 e^{-0.18}\cong\$83.53\\\end{aligned}​PV=铁−钢筋混凝土​n=（100美元）e−(0.06）（3）=100e美元−0.18≅$83.53​

跨多个周期缩放

连续复合收益的便利性在于它可以在多个时期内扩展。如果第一期回报率为4%，第二期回报率为3%，那么两期回报率为7%。假设我们以100美元开始一年，第一年年底增长到120美元，第二年年底增长到150美元。连续复合收益率分别为18.23%和22.31%。

项次（120100）≅18.23%\开始{对齐}&amp\ln\左（\frac{120}{100}\右）\cong 18.23\%\\\end{aligned}​ln（100120）​)≅18.23%​

ln（150120）≅22.31%\开始{对齐}&amp\ln\左（\frac{150}{120}\右）\cong 22.31\%\\\end{aligned}​ln（120150）​)≅22.31%​

如果我们把这些加起来，我们得到40.55%。这是两期回报：

ln（150100）≅40.55%\开始{对齐}&amp\ln\左（\frac{150}{100}\右）\cong 40.55\%\\结束{对齐}​ln（100150）​)≅40.55%​

从技术上讲，连续收益是时间一致的。时间一致性是风险价值（VAR）的技术要求。这意味着，如果单期收益率是正态分布的随机变量，我们希望多期随机变量也是正态分布的。此外，多期连续复合收益率是正态分布的（不同于简单的百分比收益率）。

连续复配常见问题

连续复合是什么意思？

连续复利意味着利息复利的频率没有限制。复利可以持续发生无限次，这意味着余额一直在赚取利息。

复合是不是每天都是复合的？

连续复利是指利息每时每刻都在复利，即使是在最小的可量化时间段。因此，复合持续发生的频率比每天都高。

为什么使用连续复配？

连续复合用于显示当利息不断累积时，余额能挣多少。对于投资者来说，他们可以计算出他们期望从不断复合利率的投资中获得多少。

离散的(discrete)和连续复配(continuous compounding)的区别

离散复利适用于特定时间的利息，如每日、每月、每季度或每年。离散复利明确定义了利息的使用时间。连续复利在每一个时刻持续地应用利息。

每年复利(compounding annually)和连续不断地(continuously)的区别

每年复利是指每年对本金和以前累计的利息支付利息；而连续复利是指每时每刻对本金和累计利息进行复利。连续复利没有一部分时间不适用利息。

底线

我们可以将年度利率重新调整为半年利率、季度利率、月利率或每日利率（或收益率）。最常见的复合是连续复合，这要求我们使用自然对数和指数函数，因为它的理想性质在金融中常用。复合连续返回比例容易在多个周期和时间一致。