什麼是多元線性回歸（mlr）(multiple linear regression (mlr))？

多元線性回歸（MLR），也稱為多元回歸，是一種使用多個解釋變數來預測響應變數結果的統計技術。多元線性回歸（MLR）的目標是建立解釋變數（自變數）和反應變數（因變數）之間的線性關係模型。

從本質上講，多元回歸是普通最小二乘法（OLS）回歸的推廣，因為它涉及多個解釋變數。

關鍵要點

• 多元線性回歸（MLR），也稱為多元回歸，是一種使用多個解釋變數來預測響應變數結果的統計技術。
• 多元回歸是線性（OLS）回歸的擴充套件，它只使用一個解釋變數。
• MLR在計量經濟學和金融推理中有著廣泛的應用。

多元線性回歸的公式與計算

彞語=β0+β1X1+β2X2+…+βpxip公司+ϵ其中，對於i=n observati***:yi=dependent variablexi=解釋變數β0=y截距（常數項）βp=每個解釋變數的斜率繫數ϵ=模型的誤差項（也稱為殘差）\begin{aligned}&amp；y\u i=\beta\u 0+\beta\u 1 x{i1}+\beta\u 2 x{i2}+…+\βp x{ip}+\epsilon\\&amp\textbf{其中，對於}i=n\textbf{觀察：}\\&amp；y\u i=\text{因變數}\\&amp；x\u i=\text{解釋變數}\\&amp\beta\u 0=\text{y-截距（常數項）}\\&amp\beta\u p=\text{每個解釋變數的斜率繫數}\\&amp\epsilon=\text{模型的誤差項（也稱為殘差）}\end{對齊}​彞語​=β0​+β1​X1​+β2​XI2​+...+βp​十九​+ϵ其中，對於i=n observati***:yi​=因變數xi​=解釋變數β0​=y截距（常數項）βp​=各解釋變數的斜率繫數ϵ=模型的誤差項（也稱為殘差）​

多元線性回歸能告訴你什麼

簡單線性回歸是一個函式，它允許分析員或統計學家根據已知的另一個變數的資訊對一個變數進行預測。只有當一個變數有兩個連續變數，一個自變數和一個因變數時，才可以使用線性回歸。自變數是用來計算因變數或結果的引數。多元回歸模型擴充套件到幾個解釋變數。

多元回歸模型基於以下假設：

• 因變數與自變數之間存線上性關係
• 自變數之間沒有太高的相關性
• 彞族觀察是從人群中獨立隨機選擇的
• 殘差應為正態分佈，平均值為0，方差為0σ

決定繫數（R平方）是一種統計指標，用來衡量結果的變化有多少可以用自變數的變化來解釋。R2總是隨著MLR模型加入更多的預測因子而增加，即使預測因子可能與結果變數無關。

因此，R2本身不能用來確定哪些預測因子應該包含在模型中，哪些應該排除。R2只能在0和1之間，其中0表示結果不能由任何自變數預測，1表示結果可以在沒有自變數誤差的情況下預測。

當解釋多元回歸的結果時，β繫數是有效的，同時保持所有其他變數不變（“所有其他變數相等”）。多元回歸的輸出可以水平顯示為方程式，也可以垂直顯示為表格形式。

如何使用多元線性回歸的示例

例如，分析師可能想知道市場的走勢如何影響埃克森美孚（XOM）的價格。在這種情況下，它們的線性方程將標普500指數的值作為獨立變數，或預測變數，XOM的價格作為相關變數。

事實上，有多種因素可以預測事件的結果。例如，埃克森美孚的價格走勢不僅僅取決於整個市場的表現。其他預測因素，如石油價格、利率和石油期貨價格變動，都會影響XOM的價格和其他石油公司的股價。為了理解存在兩個以上變數的關係，使用了多元線性回歸。

多元線性回歸（MLR）用於確定多個隨機變數之間的數學關係。換句話說，MLR檢驗了多個自變數如何與一個因變數相關。一旦確定了每個獨立因素來預測因變數，就可以使用多個變數的資訊來準確預測它們對結果變數的影響程度。該模型以直線（線性）的形式建立關係，該關係最接近所有單個資料點。

參考上述MLR方程，在我們的示例中：

• yi=XOM價格的因變數
• XI1=利率
• 石油價格
• Sy3=標準普爾500指數值
• 石油期貨價格
• B0=時間零點的y截距
• B1＝當XI1變化時測量因變數的單位變化的回歸繫數-當利率變化時XOM價格的變化
• B2＝繫數值，當XII改變油價變化時，XI改變了因變數的單位變化；

最小二乘估計，B0，B1，B2…Bp，通常由統計軟體計算。回歸模型中可以包含許多變數，其中每個自變數用一個數字-1、2、3、4…p來區分。多元回歸模型允許分析員根據多個解釋變數提供的資訊來預測結果。

儘管如此，該模型並不總是完全準確的，因為每個資料點都可能與模型預測的結果略有不同。殘值E是實際結果和預測結果之間的差異，它被包括在模型中以解釋這種微小的變化。

假設我們透過一個統計計算軟體執行XOM價格回歸模型，它返回以下輸出：

一位分析師將此產出解釋為，如果其他變數保持不變，如果市場油價上漲1%，XOM的價格將上漲7.8%。模型還表明，XOM的價格將在利率上漲1%後下降1.5%。R2表明，埃克森美孚股價變動的86.5%可以透過利率、油價、石油期貨和標普的變化來解釋；500指數。

線性回歸與多元回歸的區別

普通線性平方（OLS）回歸比較了因變數的響應給定的一些解釋變數的變化。然而，一個因變數只能用一個變數來解釋是很少見的。在這種情況下，分析員使用多元回歸，試圖用一個以上的自變數來解釋因變數。多元回歸可以是線性的，也可以是非線性的。

多元回歸是建立在因變數和自變數之間存線上性關係的假設基礎上的。它還假設自變數之間沒有主要的相關性。

常見問題

什麼使多元回歸“多元”？

多元回歸考慮了一個以上的解釋變數對某些結果的影響。當保持模型中所有其他變數不變時，它評估這些解釋性變數或自變數對因變數的相對影響。

為什麼要使用多元回歸而不是簡單的ols回歸？

一個因變數只有一個變數來解釋是很少見的。在這種情況下，分析員使用多元回歸，試圖用一個以上的自變數來解釋因變數。然而，該模型假設自變數之間沒有主要的相關性。

我能手工做多元回歸嗎？

可能不會。多元回歸模型是複雜的，當模型中包含更多的變數或要分析的資料量增加時，情況就更為複雜。要執行多元回歸，您可能需要使用專門的統計軟體，或Excel等業務程式中的函式。

多元回歸“線性”是什麼意思？

在多元線性回歸中，模型計算出最佳擬合線，該擬合線使與因變數相關的每個變數的方差最小化。因為它符合一條直線，所以它是一個線性模型。還有涉及多變數的非線性回歸模型，如logistic回歸、二次回歸和probit模型。

多元回歸模型在金融中是如何使用的？

任何著眼於多個變數的計量經濟模型都可能是多元回歸。因子模型，例如，比較兩個或更多的因素，分析變數之間的關係和結果的表現。Fama和French的三因素模型是這樣一個模型，它擴充套件了資本資產定價模型（CAPM），將規模風險和價值風險因素新增到CAPM的市場風險因素中（CAPM本身就是一個回歸模型）。透過包含這兩個額外的因素，該模型調整了這種表現優於趨勢，這被認為是一個更好的工具來評估經理的業績。