什麼是持續時間與凸度(duration and convexity)？

久期和凸度是管理固定收益投資風險敞口的兩個工具。期限衡量債券對利率變化的敏感性。凸性與債券價格和收益率在利率變化時的相互作用有關。

對於息票債券，投資者依賴一種稱為持續時間的指標來衡量債券價格對利率變化的敏感性。由於息票債券在其存續期內進行一系列的支付，固定收益投資者需要一些方法來衡量債券承諾現金流的平均到期日，作為債券有效到期日的彙總統計。持續時間可以實現這一點，讓固定收益投資者在管理投資組合時更有效地衡量不確定性。

關鍵要點

• 對於息票債券，投資者依靠一種稱為“持續時間”的指標來衡量債券對利率變化的價格敏感性。
• 利用缺口管理工具，銀行可以將資產和負債的持續時間等同起來，從而有效地使其整體頭寸免受利率變動的影響。

保證期

1938年，加拿大經濟學家弗雷德裡克·羅伯遜·麥考利（Frederick Robertson Macaulay）將有效期限概念稱為債券的“期限”。 在這樣做時，他建議，這一期限應計算為加權平均時間到期的每一個息票，或本金支付，由債券。麥考利的持續時間公式如下：

D級=∑i=1噸∗C（1+r）t+t型∗F（1+r）t型∑i=1TC（1+r）t+F（1+r）twhere:D=The 債券的麥考利期限t=到期前的期限數i=第i個期限c=定期支付息票r=定期到期收益率f=到期時的面值\begin{aligned}&amp；D=\frac{\sum{i=1}^T{\frac{T*C}{\left（1+r\right）^T}}+\frac{T*F}{\left（1+r\right）^T}{\sum{i=1}^T{\frac}{\left（1+r\right）^T}+\frac{F}{\left（1+r\right）^T}}}\\\\ textbf{其中：\\\\&amp；D=\text{債券的麥考利期限}\\&amp；T=\text{到期前的期間數}\\&amp；i=\text{the}i^{th}\text{time period}\\&amp；C=\text{定期優惠券支付}\\&amp；r=\text{定期到期收益率}\\&amp；F=\text{到期時的面值}\\\end{對齊}其中：​D級=∑i=1噸​(1+r）tC​+(1+r）tF​∑i=1噸​(1+r）tt∗C​+(1+r）tT∗F​​D=債券的麥考利期限T=到期前的期數I=第i個時間段C=定期支付息票R=定期到期收益率F=到期時的面值​

固定收益管理持續時間

持續時間對於管理固定收益投資組合至關重要，原因如下：

1. 這是一個投資組合有效平均到期日的簡單彙總統計。
2. 它是使投資組合免受利率風險影響的重要工具。
3. 它估計投資組合的利率敏感性。

持續時間度量具有以下屬性：

• 零息債券的期限等於到期時間。
• 當票面利率較高時，保持到期日不變，債券的持續時間較低，這是由於早期較高的票面支付的影響。
• 在票面利率不變的情況下，債券的期限通常會隨著到期時間的延長而增加。但也有例外，比如深度貼現債券（deep-discount bonds）等工具，其期限可能會隨著到期時間的增加而減少。
• 在其他因素不變的情況下，當債券的到期收益率較低時，息票債券的持續時間較高。然而，對於零息票債券，無論到期收益率如何，期限都等於到期時間。
• 等級永久性的持續時間為（1+y）/y。例如，以10%的收益率計算，每年支付100美元的永續經營期限將等於1.10/.10=11年。然而，如果收益率為8%，則等於1.08/.08=13.5年。這一原則表明，到期日和期限可能存在很大差異。舉個例子：永續經營的期限是無限的，而收益率為10%的票據期限只有11年。永續經營存續期早期的現值加權現金流主導了存續期的計算。

差距管理持續時間

許多銀行表現出資產和負債期限不匹配。銀行負債主要是欠客戶的存款，一般性質上是短期的，持續時間較短。相比之下，銀行的資產主要包括未償商業和消費貸款或抵押貸款。這些資產往往持續時間較長，其價值對利率波動更為敏感。在利率意外飆升的時期，如果銀行的資產價值比負債價值下降得更厲害，銀行的凈值可能會急劇下降。

缺口管理是一種廣泛使用的風險管理工具，銀行試圖限制資產和負債期限之間的“缺口”。缺口管理在很大程度上依賴於可調利率抵押貸款（ARMs），這是縮短銀行資產組合期限的關鍵因素。與傳統的抵押貸款不同，當市場利率上升時，ARMs的價值不會下降，因為他們支付的利率與當前利率掛鉤。

在資產負債表的另一方面，採用定期至到期的長期銀行存單（CDs）有助於延長銀行負債的期限，同樣有助於縮短期限缺口。

瞭解差距管理

銀行採用缺口管理來平衡資產和負債的持續時間，有效地使其整體頭寸免受利率變動的影響。理論上，銀行的資產和負債規模大致相等。因此，如果它們的持續時間相同，利率的任何變動都會對資產和負債的價值產生相同程度的影響，因此利率變動對凈值的最終影響很小或沒有。因此，資產凈值要求投資組合持續時間或缺口為零。

具有未來固定債務的機構，如養老基金和保險公司，與銀行的不同之處在於，它們的運營著眼於未來承諾。例如，養恤基金有義務維持足夠的資金，為工人退休後提供源源不斷的收入。隨著利率的波動，基金所持資產的價值以及這些資產產生收入的利率也會隨之波動。因此，投資組合經理可能希望在某個目標日期保護（免疫）基金的未來累積價值，使其免受利率變動的影響。換言之，貸款期限與資產和負債相匹配，因此無論利率變動如何，銀行都可以履行其義務。

固定收益管理中的凸性

不幸的是，作為利率敏感性的衡量標準，期限有其侷限性。雖然統計資料計算出債券價格和收益率變化之間的線性關係，但實際上，價格和收益率變化之間的關係是凸的。

在下麵的圖片中，曲線代表了價格的變化，給出了收益率的變化。與曲線相切的直線透過持續時間統計表示估計的價格變化。陰影區域顯示了持續時間估計和實際價格變動之間的差異。如前所述，利率變化越大，估計債券價格變化的誤差就越大。

凸度是衡量債券價格變化曲線與利率變化的關係，它透過衡量利率波動時債券存續期的變化來解決這一錯誤。公式如下：

C=d2（B（r））B∗d∗r2級where:C=convexityB=the 債券價格=利率=期限\開始{對齊}&amp；C=\frac{d^2\左（B\左（r\right）\right）}{B*d*r^2}\\&amp\textbf{其中：}\\&amp；C=\text{凸性}\\&amp；B=\text{債券價格}\\&amp；r=\text{利率}\\&amp；d=\text{duration}\\\end{aligned}​C=B∗d∗r2d2（B（r））​where:C=convexityB=the 債券價格=利率=期限​

一般來說，息票越高，凸度越低，因為5%的債券比10%的債券對利率變化更敏感。由於贖回功能，如果收益率下降太低，可贖回債券將顯示負凸性，這意味著當收益率下降時，持續時間將減少。零息債券具有最高的凸性，只有當比較債券的期限和到期收益率相同時，這種關係才有效。指出：高凸度債券對利率變化更為敏感，因此當利率變動時，債券價格應出現較**動。

低凸度債券的情況正好相反，當利率變化時，其價格波動不大。當繪製在二維圖上時，這種關係應生成一個長的傾斜U形（因此，術語“凸”）。

低息債券和零息債券的收益率往往較低，利率波動性最高。從技術角度來看，這意味著債券期限的調整需要進行更大的調整，以跟上利率變動後價格的更高變化。較低的票面利率導致較低的收益率，較低的收益率導致較高的凸度。

底線

不斷變化的利率給固定收益投資帶來了不確定性。久期和凸度讓投資者量化了這種不確定性，幫助他們管理固定收益投資組合。