算術序列與幾何序列
數字模式及其行為的研究是數學領域的一項重要研究。通常這些模式可以在自然界中看到，並幫助我們從科學的角度解釋它們的行為。算術序列和幾何序列是數字中的兩種基本模式，經常出現在自然現象中。
序列是一組有序的數字。序列中元素的數量可以是有限的，也可以是無限的。
更多關於算術序列（算術級數）
算術序列被定義為每個連續項之間具有恆定差的數字序列。它也被稱為算術級數。
算術序列⇒a1，a2，a3，a4，…，an；其中a2=a1+d，a3=a2+d，依此類推。
如果初始項是a1，公共差是d，則序列的第n項由下式給出；
an=a1+（n-1）d
通過進一步考慮上述結果，第n項也可以給出為：；
an=am+（n-m）d，其中am是序列中的一個隨機項，使得n>；m。
偶數集和奇數集是算術序列的最簡單例子，其中每個序列的公共差（d）為2。
序列中的項數可以是無限的，也可以是有限的。在無窮大情形下（n→∞），序列趨向於無窮大，取決於公共差（an→±∞）。如果公差為正（d>；0），則序列趨於正無窮大；如果公差為負（d<；0），則序列趨於負無窮大。如果項是有限的，序列也是有限的。
（a3+2的算術項n=a3+2）（a3+2的算術數=1+2）。
有關幾何序列（幾何級數）的詳細信息
幾何序列定義為任意兩個連續項的商為常數的序列。這也被稱為幾何級數。
幾何序列⇒a1，a2，a3，a4，…，an；其中a2/a1=r，a3/a2=r，依此類推，其中r是實數。
用公比（r）和初始項（a）更容易表示幾何序列。因此，幾何序列⇒a1、a1r、a1r2、a1r3、…、a1rn-1。
由an=a1rn-1給出的第n項的一般形式。（丟失初始項的下標⇒an=arn-1）
幾何序列也可以是有限的或無限的。如果項的數目是有限的，那麼這個序列就是有限的。如果項是無限的，序列可以是無限的，也可以是有限的，這取決於比值r。公比影響幾何序列的許多性質。
| r>；o | 0<r<+1 | 序列收斂-指數衰減，即an→0，n→∞ |
| r=1 | 常數序列，即an=常數 | |
| r>1 | 序列發散-指數增長，即an→∞，n→∞ | |
| r<；0 | -1<r<0 | 序列是振盪的，但是收斂了 |
| r=1 | 序列是交替的和恆定的，即an=±常數 | |
| r<-1 | 序列是交替的和發散的。i、 e.an→±∞，n→∞ | |
| r=0 | 序列是一串零 | |
N、 B:在以上所有情況下，a1>；0；如果a1<；0，則與an相關的符號將反轉。
在理想模型中，球反彈的時間間隔遵循一個幾何序列，是一個收斂序列。
幾何序列的項之和稱為幾何級數；Sn=ar+ar2+ar3+⋯+arn=∑i=1→nari。幾何級數之和可以用以下公式計算。
Sn=a（1-rn）/（1-r）；其中a是初始項，r是比率。
如果比值r≤1，級數收斂。對於無窮級數，收斂值由Sn=a/（1-r）給出
算術和幾何序列/級數有什麼區別？
•在算術序列中，任何兩個連續項具有公共差（d），而在幾何序列中，任何兩個連續項具有常數商（r）。
•在算術序列中，項的變化是線性的，即可以畫一條穿過所有點的直線。在幾何級數中，變化是指數型的；根據公倍數增長或衰減。
•所有無限算術序列都是發散的，而無限幾何級數既可以發散，也可以收斂。
