算术序列与几何序列
数字模式及其行为的研究是数学领域的一项重要研究。通常这些模式可以在自然界中看到，并帮助我们从科学的角度解释它们的行为。算术序列和几何序列是数字中的两种基本模式，经常出现在自然现象中。
序列是一组有序的数字。序列中元素的数量可以是有限的，也可以是无限的。
更多关于算术序列（算术级数）
算术序列被定义为每个连续项之间具有恒定差的数字序列。它也被称为算术级数。
算术序列⇒a1，a2，a3，a4，…，an；其中a2=a1+d，a3=a2+d，依此类推。
如果初始项是a1，公共差是d，则序列的第n项由下式给出；
an=a1+（n-1）d
通过进一步考虑上述结果，第n项也可以给出为：；
an=am+（n-m）d，其中am是序列中的一个随机项，使得n>；m。
偶数集和奇数集是算术序列的最简单例子，其中每个序列的公共差（d）为2。
序列中的项数可以是无限的，也可以是有限的。在无穷大情形下（n→∞），序列趋向于无穷大，取决于公共差（an→±∞）。如果公差为正（d>；0），则序列趋于正无穷大；如果公差为负（d<；0），则序列趋于负无穷大。如果项是有限的，序列也是有限的。
（a3+2的算术项n=a3+2）（a3+2的算术数=1+2）。
有关几何序列（几何级数）的详细信息
几何序列定义为任意两个连续项的商为常数的序列。这也被称为几何级数。
几何序列⇒a1，a2，a3，a4，…，an；其中a2/a1=r，a3/a2=r，依此类推，其中r是实数。
用公比（r）和初始项（a）更容易表示几何序列。因此，几何序列⇒a1、a1r、a1r2、a1r3、…、a1rn-1。
由an=a1rn-1给出的第n项的一般形式。（丢失初始项的下标⇒an=arn-1）
几何序列也可以是有限的或无限的。如果项的数目是有限的，那么这个序列就是有限的。如果项是无限的，序列可以是无限的，也可以是有限的，这取决于比值r。公比影响几何序列的许多性质。
| r>；o | 0<r<+1 | 序列收敛-指数衰减，即an→0，n→∞ |
| r=1 | 常数序列，即an=常数 | |
| r>1 | 序列发散-指数增长，即an→∞，n→∞ | |
| r<；0 | -1<r<0 | 序列是振荡的，但是收敛了 |
| r=1 | 序列是交替的和恒定的，即an=±常数 | |
| r<-1 | 序列是交替的和发散的。i、 e.an→±∞，n→∞ | |
| r=0 | 序列是一串零 | |
N、 B:在以上所有情况下，a1>；0；如果a1<；0，则与an相关的符号将反转。
在理想模型中，球反弹的时间间隔遵循一个几何序列，是一个收敛序列。
几何序列的项之和称为几何级数；Sn=ar+ar2+ar3+⋯+arn=∑i=1→nari。几何级数之和可以用以下公式计算。
Sn=a（1-rn）/（1-r）；其中a是初始项，r是比率。
如果比值r≤1，级数收敛。对于无穷级数，收敛值由Sn=a/（1-r）给出
算术和几何序列/级数有什么区别？
•在算术序列中，任何两个连续项具有公共差（d），而在几何序列中，任何两个连续项具有常数商（r）。
•在算术序列中，项的变化是线性的，即可以画一条穿过所有点的直线。在几何级数中，变化是指数型的；根据公倍数增长或衰减。
•所有无限算术序列都是发散的，而无限几何级数既可以发散，也可以收敛。
