样本方差或标准偏差的计算通常以分数表示。这个分数的分子包括与平均值的平方偏差之和。在统计学中，这个平方和的公式是

∑（xi-x̄）2

这里符号x̄表示样本平均值，∑告诉我们将所有i的平方差（xi-x̄）相加。

虽然此公式适用于计算，但有一个等效的快捷公式，不需要我们首先计算样本平均值。这个平方和的快捷公式是

∑（xi2）-（∑xi）2/n

这里，变量n指的是样本中数据点的数量。

标准公式示例

要了解这个快捷方式如何工作，我们将考虑使用这两个公式计算的示例。假设我们的样本是2,4,6,8。样本平均值为（2+4+6+8）/4=20/4=5。现在我们用平均值5计算每个数据点的差值。

• 2 – 5 = -3
• 4 – 5 = -1
• 6 – 5 = 1
• 8 – 5 = 3

现在，我们将这些数字进行平方运算，并将它们相加。(-3)2 + (-1)2 + 12 + 32 = 9 + 1 + 1 + 9 = 20.

快捷公式示例

现在我们将使用相同的数据集：2、4、6、8，并使用快捷公式来确定平方和。我们首先将每个数据点平方，然后将它们相加：22+42+62+82=4+16+36+64=120。

下一步是将所有数据相加，并将该和平方：（2+4+6+8）2=400。我们将其除以数据点的数量，得到400/4=100。

我们现在从120减去这个数字。这给了我们偏差的平方和是20。这正是我们已经从另一个公式中找到的数字。

这是怎么回事？

许多人只是表面上接受这个公式，并不知道为什么这个公式有效。通过使用一点代数，我们可以看出为什么这个快捷公式等同于标准的、传统的计算方差和的方法。

尽管现实世界的数据集中可能有数百个（如果不是数千个）值，但我们将假设只有三个数据值：x1、x2、x3。我们在这里看到的可以扩展到一个有数千个点的数据集。

我们首先注意到（x1+x2+x3）=3x̄。表达式∑（xi-x̄）2=（x1-x̄）2+（x2-x̄）2+（x3-x̄）2。

我们现在使用基本代数中的事实，（a+b）2=a2+2ab+b2。这意味着（x1-x̄）2=x12-2x1 x̄+x̄2。我们对求和的其他两项进行了计算，我们得到：

x12-2x1 x̄+x̄，2+x22-2x2 x̄+x̄，2+x32-2x3 x̄+x̄，2。

我们对其进行了重新安排，并：

x12+x22+x32+3x，2-2x（x1+x2+x3）。

通过重写（x1+x2+x3）=3x̄，上述内容变为：

x12+x22+x32-3x̄2。

现在，由于3x̄，2=（x1+x2+x3）2/3，我们的公式变成：

x12+x22+x32-（x1+x2+x3）2/3

这是上面提到的一般公式的一个特例：

∑（xi2）-（∑xi）2/n

这真的是一条捷径吗？

这似乎不是一条真正的捷径。毕竟，在上面的例子中，似乎有同样多的计算。部分原因是我们只研究了一个小样本。

当我们增加样本大小时，我们发现快捷公式将计算数量减少了一半左右。我们不需要从每个数据点减去平均值，然后将结果平方。这大大减少了操作总数。