如何找到正态分布的拐点(find the inflection points of a normal distribution)
数学有一个伟大之处，那就是看似不相关的学科领域以令人惊讶的方式结合在一起。这方面的一个例子是从微积分到钟形曲线的应用。微积分中称为导数的工具用于回答以下问题。正态分布的概率密度函数图上的拐点在哪里？
拐点
曲线具有多种可分类的特征。关于曲线的一个项目，我们可以考虑的是函数的图是增加还是减少。另一个特征与所谓的凹度有关。这大致可以看作是曲线的一部分所面对的方向。更正式地说，凹度是曲率的方向。
如果曲线的一部分形状像字母U，则称其为上凹。如果曲线的一部分形状像以下形状，则称其为下凹∩. 如果我们考虑一个洞穴的开口，向上是凹面向上，向下是凹面向下，我们很容易记住它是什么样子。拐点是曲线改变凹度的地方。换句话说，它是一个曲线从上凹到下凹的点，反之亦然。
二阶导数
在微积分中，导数是一种以多种方式使用的工具。导数最为人所知的用途是确定在给定点与曲线相切的直线的斜率，但也有其他应用。其中一个应用程序与查找函数图的拐点有关。
如果y=f（x）的图形在x=a处有一个拐点，则在a处计算的f的二阶导数为零。我们用数学表示法把它写成f'（a）=0。如果函数的二阶导数在某一点为零，这并不意味着我们已经找到了拐点。然而，我们可以通过观察二阶导数为零的位置来寻找潜在的拐点。我们将使用这种方法来确定正态分布拐点的位置。
钟形曲线的拐点
正态分布平均值μ和标准偏差σ的随机变量的概率密度函数为
f（x）=1/（σ）√（2π）exp[-（x-μ）2/（2σ2）]。
这里我们使用符号exp[y]=ey，其中e是近似于2.71828的数学常数。
该概率密度函数的一阶导数是通过知道ex的导数并应用链式规则求出的。
f’（x）=-（x-μ）/（σ3√（2π）exp[-（x-μ）2/（2σ2）]=-（x-μ）f（x）/σ2。
我们现在计算这个概率密度函数的二阶导数。我们使用产品规则来了解：
f'（x）=-f（x）/σ2-（x-μ）f'（x）/σ2
简化这个表达式
f''（x）=-f（x）/σ2+（x-μ）2f（x）/（σ4）
现在将这个表达式设为0，并求解x。因为f（x）是一个非零函数，我们可以将方程的两边都除以这个函数。
0=-1/σ2+（x-μ）2/σ4
为了消除分数，我们可以用两边乘以σ4
0=-σ2+（x-μ）2
我们现在接近我们的目标。为了解x，我们看到了
σ2=（x-μ）2
通过取两边的平方根（记住同时取根的正值和负值）
±σ=x-μ
由此很容易看出，拐点出现在x=μ±σ的位置。换句话说，拐点位于平均值上方一个标准偏差和平均值下方一个标准偏差处。
- 发表于 2021-10-08 03:59
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- 分类：数学
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