如何计算泊松分布的方差(calculate the variance of a poisson distribution)

随机变量分布的方差是一个重要特征。这个数字表示分布的扩展，它是通过标准偏差的平方来发现的。一种常用的离散分布是泊松分布。我们将了解如何使用参数λ计算泊松分布的方差。...

随机变量分布的方差是一个重要特征。这个数字表示分布的扩展，它是通过标准偏差的平方来发现的。一种常用的离散分布是泊松分布。我们将了解如何使用参数λ计算泊松分布的方差。

Business team discussing formula on glass pane in office

泊松分布

当我们有一个某种连续统并计算该连续统中的离散变化时，使用泊松分布。当我们考虑在一小时内到达一个电影售票柜台的人数时，这会发生在一个十字路口，记录一辆四路停靠站的车辆数量，或者计算一段电线中出现的缺陷数量。

如果我们在这些场景中做出一些明确的假设，那么这些场景符合泊松过程的条件。然后我们说，统计变化次数的随机变量具有泊松分布。

泊松分布实际上是指一个无限的分布族。这些分布带有一个参数λ。该参数是一个正实数，与在连续统中观察到的预期变化数量密切相关。此外，我们将看到该参数不仅等于分布的平均值，而且等于分布的方差。

泊松分布的概率质量函数由下式给出：

f(x) = (λx e-λ)/x!

在此表达式中，字母e是一个数字，是一个数值约等于2.718281828的数学常数。变量x可以是任何非负整数。

计算方差

为了计算泊松分布的平均值，我们使用该分布的矩母函数。我们看到：

M( t ) = E[etX] = Σ etXf( x) = ΣetX λx e-λ)/x!

我们现在为欧盟召回Maclaurin系列。因为函数eu的任何导数都是eu，所以所有这些导数在0处计算得到的结果都是1。结果是序列eu=∑un/n！。

利用eu的Maclaurin级数，我们可以将矩母函数不表示为级数，而是表示为封闭形式。我们用x的指数组合所有项。因此M（t）=eλ（et-1）。

我们现在通过取M的二阶导数并在零处求值来求方差。由于M'（t）=λetM（t），我们使用乘积规则计算二阶导数：

M’’(t)=λ2e2tM’(t) + λetM(t)

我们在0处对此进行评估，发现M'（0）=λ2+λ。然后，我们使用M'（0）=λ这一事实来计算方差。

Var(X) = λ2 + λ – (λ)2 = λ.

这表明参数λ不仅是泊松分布的平均值，也是其方差。

发表于 2021-09-21 20:13
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分类：数学

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