什么时候什么都不是?这似乎是一个愚蠢的问题,而且相当矛盾。在集合论的数学领域里,没有东西就是没有东西是一种惯例。这怎么可能?
当我们形成一个没有元素的集合时,我们就不再一无所有。我们有一套里面什么都没有的。不包含任何元素的集合有一个特殊名称。这称为空集或空集。
空集合的定义非常微妙,需要一点思考。重要的是要记住,我们认为集合是元素的集合。集合本身与它包含的元素不同。
例如,我们将查看{5},它是一个包含元素5的集合。集合{5}不是一个数字。它是一个以数字5为元素的集合,而5是一个数字。
同样,空集也不是什么都不是。相反,它是一个没有元素的集合。它有助于将集合视为容器,元素就是我们放入其中的那些东西。空容器仍然是一个容器,类似于空集。
空集是唯一的,这就是为什么谈论空集而不是空集是完全合适的。这使得空集合与其他集合不同。有无限多个集合,其中有一个元素。集合{a}、{1}、{b}和{123}各有一个元素,因此它们彼此等价。由于元素本身彼此不同,因此集合不相等。
上面的例子没有什么特别之处,每个例子都有一个元素。除了一个例外,对于任何计数数或无穷大,都有无穷多个相同大小的集合。数字0是个例外。只有一个集合,即空集合,其中没有任何元素。
这一事实的数学证明并不困难。我们首先假设空集不是唯一的,有两个集合中没有元素,然后使用集合论中的一些性质来证明这个假设隐含着矛盾。
空集由符号表示∅, 它来自丹麦字母表中类似的符号。有些书用空集合的另一个名称null set来引用空集合。
由于只有一个空集,所以值得注意的是,当集合、交和补集的集合运算与空集一起使用时,我们将用X表示一个一般集。考虑空集的子集以及空集是什么子集也是有趣的。这些事实收集如下:
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