計算年金的現值和未來價值

我們大多數人都有過在一段時間內進行一系列固定支付的經驗，如租金或汽車支付，或在一段時間內收到一系列支付，如債券或存款證（CD）的利息。這些經常性或持續性支付在技術上被稱為“年金”（不要與稱為年金的金融產品混淆，儘管兩者是相關的）。...

我們大多數人都有過在一段時間內進行一系列固定支付的經驗，如租金或汽車支付，或在一段時間內收到一系列支付，如債券或存款證（CD）的利息。這些經常性或持續性支付在技術上被稱為“年金”（不要與稱為年金的金融產品混淆，儘管兩者是相關的）。

有幾種方法可以衡量支付此類款項的成本或最終價值。以下是計算年金現值（PV）或未來價值（FV）時需要瞭解的內容。

關鍵要點

經常性的付款，如公寓租金或債券利息，有時被稱為“年金”
在普通年金中，支付是在每個時期結束時進行的。年金到期後，在期初支付。
年金的未來價值是在特定時間點支付的總價值。
目前的價值是現在需要多少錢來產生這些未來的付款。

兩種年金

年金，從這個意義上講，分為兩種基本型別：普通年金和到期年金。

普通年金：普通年金在每期結束時支付（或要求支付）。例如，債券一般在每六個月末付息。
到期年金：與到期年金相比，付款在每個時期的開始。房東通常在每個月初要求租房，這是一個常見的例子。

您可以使用以下公式計算普通年金或到期年金的現值或未來值。

計算普通年金的未來價值

未來價值（FV）是一種衡量一系列定期付款在未來某個特定利率下的價值的指標。所以，舉個例子，如果你計劃每月或每年投資一筆錢，它會告訴你，到將來某一天，你已經積累了多少錢。如果你定期償還貸款，未來價值在確定貸款的總成本時很有用。

例如，考慮一系列定期支付的5筆1000美元的款項。

由於貨幣的時間價值，任何一筆錢現在的價值都比將來的價值要高，因為它可以同時投資，第一筆1000美元的付款比第二筆1000美元的付款更值錢，依此類推。所以，假設你在接下來的五年裡每年投資1000美元，利率為5%。以下是五年期結束時你會有多少錢。

不過，你可以使用以下公式，告訴你最終會有多少錢，而不是單獨計算每一筆付款，然後將它們相加：

普通年金=C×[(1+1）n−[第1頁]where:C=cash 每期流量i=利率n=付款次數\開始{對齊}&amp\text{FV}{\text{normal~Annuity}}=\text{C}\times\左[\frac{（1+i）^n-1}{i}\right]\\\&amp\textbf{其中：}\\&amp\text{C}=\text{每期現金流}\\&amp；i=\text{interest rate}\\&amp；n=\text{付款次數}\\\結束{對齊}普通年金=C×[一（1+1）n−1]where:C=cash 每期流量i=利率n=付款次數

使用上面的示例，下麵是它的工作原理：

普通年金=1000美元×[(1+0.05)5−10.05]=$1,000×5.53=$5525.63\begin{aligned}\text{FV}{\text{normal~ Annuity}}&amp；=\$1000次左[\frac{（1+0.05）^5-1}{0.05}\右]\\&amp；=\$1000乘以5.53\\&amp；=\$5525.63\\\普通年金=$1,000×[0.05(1+0.05)5−1]=$1,000×5.53=$5,525.63

請註意，這些結果中的1美分差異是5525.64美元對5525.63美元，這是由於第一次計算中的四捨五入造成的。

計算普通年金的現值

與未來價值計算不同的是，現值（PV）計算告訴您，在未來產生一系列付款需要多少錢，同樣假設一個固定的利率。

以5年內支付的5筆1000美元的款項為例，下麵是現值計算的結果。報告顯示，以5%的利息投資4329.58美元，足以支付這5筆1000美元的款項。

這是適用的公式：

普通年金=C×[1−(（1+1）−開始{對齊}&amp\text{PV}{\text{normal~Annuity}}=\text{C}\times\left[\frac{1-（1+i）^{n}}{i}\right]\\\end{aligned}普通年金=C×[一−(（1+1）−n]

如果我們把與上面相同的數字加到方程中，結果如下：

普通年金=1000美元×[1−(1+0.05)−50.05]=$1,000×4.33=$4329.48\begin{aligned}\text{PV}{\text{normal~ Annuity}&amp；=\$1000次左[\frac{1-（1+0.05）^{-5}}{0.05}\右]\\&amp=\$1000\乘以4.33\\&amp=\$4329.48\\\普通年金=$1,000×[0.051−(1+0.05)−5]=$1,000×4.33=$4,329.48

計算到期年金的未來價值

你可能還記得，到期的年金與普通年金的不同之處在於，到期的年金是在每個時期的開始而不是結束時支付的。

為了說明在每個時期開始時發生的付款，需要對用於計算普通年金未來價值的公式稍作修改，並產生更高的值，如下所示。

價值較高的原因是期初支付的款項有更多的時間賺取利息。例如，如果1000美元是在1月1日而不是1月31日投資的，那麼它還有一個月的時間增長。

到期年金的未來價值公式如下：

到期年金=C×[(1+1）n−[第1頁]×(1+i）\begin{aligned}\text{FV}{\text{Annuity Due}}&amp；=\text{C}\times\left[\frac{（1+i）^n-1}{i}\right]\times（1+i）\\\end{aligned}fv年金到期=C×[一（1+1）n−1]×(（1+1）

在這裡，我們使用相同的數字，正如我們前面的例子：

到期年金=1000美元×[(1+0.05)5−10.05]×(1+0.05)=$1,000×5.53×1.05=$5801.91\begin{aligned}\text{FV}{\text{Annuity Due}}&amp；=\$1000次\左[\frac{（1+0.05）^5-1}{0.05}\右]\次（1+0.05）\\&amp；=\$1000乘以5.53乘以1.05\\&amp；=\$5801.91\\\end{aligned}到期年金=$1,000×[0.05(1+0.05)5−1]×(1+0.05)=$1,000×5.53×1.05=$5,801.91

同樣，請註意，這些結果中1美分的差異，5801.92美元對5801.91美元，是由於第一次計算的四捨五入造成的。

計算到期年金的現值

同樣，計算到期年金現值的公式也考慮到在每個期間開始而不是結束時支付的事實。

例如，您可以使用此公式計算租約中指定的未來租金付款的現值。假設你每月付1000美元的房租。下麵，我們可以看到未來五個月將花費你什麼，以現值計算，假設你把錢放在一個賺5%利息的賬戶裡。

這是計算到期年金現值的公式：

pv到期年金=C×[1−(（1+1）−[鎳]×(1+i）\begin{aligned}\text{PV}{\text{Annuity Due}}=\text{C}\times\left[\frac{1-（1+i）^{n}}}{i}\right]\times（1+i）\\\end{aligned}PVAnnuity Due=C×[一−(（1+1）−n]×(（1+1）

所以，在這個例子中：

到期年金=$1000×[(1−(1+0.05)−50.05]×(1+0.05)=$1,000×4.33×1.05=$4545.95\begin{aligned}\text{PV}{\text{Annuity Due}}&amp；=\$1000次\左[\tfrac{（1-（1+0.05）^{5}}{0.05}\右]\次（1+0.05）\\&amp；=\$1000次4.33次1.05\\&amp；=\$4545.95\\\end{aligned}pv到期年金=$1,000×[0.05(1−(1+0.05)−5]×(1+0.05)=$1,000×4.33×1.05=$4,545.95

1:08