伽马函数的计算
gamma函数由以下复杂的外观公式定义：
Γ（z）=∫0∞e-ttz-1dt
当人们第一次遇到这个令人困惑的方程时，有一个问题是，“你如何使用这个公式来计算伽马函数的值？”这是一个重要的问题，因为很难知道这个函数甚至意味着什么以及所有符号代表什么。
回答这个问题的一种方法是使用伽马函数查看几个示例计算。在我们这样做之前，我们必须知道微积分中的一些事情，比如如何积分一个I型不恰当积分，e是一个数学常数。
动机
在进行任何计算之前，我们先检查这些计算背后的动机。很多时候，伽马函数出现在幕后。用伽马函数表示了几种概率密度函数。这些例子包括伽马分布和t分布，伽马函数的重要性怎么强调都不为过。
γ ( 1 )
我们将研究的第一个计算示例是求Γ（1）的伽马函数值。这可通过在上述公式中设置z=1找到：
∫0∞e-tdt
我们分两步计算上述积分：
- 不定积分∫e-tdt=-e-t+C
- 这是一个不适当的积分，所以我们有∫0∞e-tdt=肢体→ ∞ -e-b+e 0=1
γ ( 2 )
我们将考虑的下一个例子与最后一个例子类似，但是我们将Z的值增加了1。现在，我们通过在上述公式中设置z=2来计算Γ（2）的伽马函数值。步骤同上：
Γ ( 2 ) = ∫0∞e-tt-dt
不定积分∫te-tdt=-te-t-e-t+C。虽然我们只将z的值增加了1，但是计算这个积分需要更多的工作。为了求这个积分，我们必须使用微积分中的一种技术，称为分部积分。我们现在使用积分极限，如上所述，需要计算：
肢体→ ∞ - be-b-e-b-0e0+e0。
微积分的一个结果称为L'Hospital法则，它允许我们计算极限肢体→ ∞ - be-b=0。这意味着上述积分的值为1。
γ（z+1）=zγ（z）
gamma函数的另一个特征是公式Γ（z+1）=zΓ（z），它与阶乘相联系，用于z具有正实部的任何复数。之所以如此，是伽马函数公式的直接结果。通过使用分部积分，我们可以建立伽马函数的这个性质。
- 发表于 2021-09-21 22:15
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- 分类：数学
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