“代数”一词起源于阿拉伯，不同的作家对其进行了不同的推导。马霍姆德·本·穆萨·阿尔·赫瓦里兹米（Hovarezmi）的一部作品的标题中首次提到了这个词，他大约在9世纪初繁荣起来。全名为ilm al-jebr wa'l-muqabala，其中包含恢复和比较、反对和比较、解决和平衡的思想，jebr源自动词jabara，用于团聚，muqabala来自gabala，用于实现平等。（jabara的词根也出现在algebrista一词中，意思是“接骨者”，在西班牙仍然普遍使用。）Lucas Paciolus（Luca Pacioli）给出了相同的派生词，他以音译形式复制了这个短语alghebra e almucabala，并将这项技术的发明归因于阿拉伯人。

其他作家也从阿拉伯粒子al（定冠词）和意思为“人”的gerber中派生出了这个词。然而，由于Geber碰巧是一位著名的摩尔哲学家的名字，他在11或12世纪左右兴盛一时，因此人们一直认为他是代数的创始人，而代数一直延续着他的名字。彼得·拉莫斯（Peter Ramus，1515-1572）在这一点上的证据很有趣，但他没有为自己的单数陈述提供任何权威。在他的算术《libri duo et totidem Algebrae》（1560）的序言中，他说：“代数”这个名字是叙利亚语，表示一个优秀的人的艺术或教义。因为在叙利亚语中，盖伯是一个用来称呼男人的名字，有时是一个荣誉名词，在我们中间是主人或医生。有一位博学的数学家，他把用叙利亚语写成的代数寄给亚历山大大帝，他把它命名为阿尔穆卡巴拉，也就是黑暗或神秘事物的书，其他人更愿意称之为代数学说。直到今天，同一本书在东方国家的学者中仍广受好评，而培养这门艺术的印度人称之为《阿尔贾布拉和阿尔博雷特》；虽然作者本人的名字不为人知。”这些说法的不确定权威性，以及上述解释的合理性，使语言学家接受了来自阿尔和贾巴拉的说法。罗伯特·Recorde在他的《威特的惠斯通》（Whetstone of Witte，1557）中使用了变体阿尔杰伯，而约翰·迪（John Dee，1527-1608）则使用了变体阿尔杰伯确认阿尔及巴，而不是代数，是正确的形式，并呼吁阿拉伯阿维森纳的权威。

虽然“代数”一词现在已被普遍使用，但文艺复兴时期意大利数学家使用了各种其他名称。因此，我们发现帕西奥罗斯称之为“魔法艺术”；这是阿尔盖布拉和阿尔穆卡巴拉上空的宇宙法则。“艺术大师”这个名字是为了区别于“艺术大师”l'arte minore，后者是他应用于现代算术的术语。他的第二个变体，la regula de la cosa，事物或未知量的规则，似乎在意大利已经普遍使用，cosa一词以coss或代数、cossic或代数、cossist或Algebrast等形式保存了几个世纪；C其他意大利作家将其称为Regula rei et census，事物和产品的规则，或根和方。这个表达式的基本原理可能在于，它衡量了他们在代数方面的成就极限，因为他们无法求解比二次或平方更高阶的方程。

弗朗西斯·维塔（Franciscus Vieta，弗朗索瓦·维特）将其命名为似是而非的算术，因为所涉及的量的种类，他用字母表中的各种字母象征性地表示。艾萨克·牛顿爵士引入了“通用算术”一词，因为它与运算法则有关，不受数字的影响，而受一般符号的影响。

尽管有这些和其他特殊的称谓，欧洲数学家仍然沿用了这个古老的名称，这个主题现在已为世人所知。

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很难将任何艺术或科学的发明明确地归于任何特定的年龄或种族。从过去的文明中流传下来的为数不多的零碎记录，决不能被视为代表了他们全部的知识，而遗漏一门科学或艺术并不一定意味着这门科学或艺术是未知的。以前的习俗是将代数的发明归于希腊人，但自从艾森洛尔对莱茵纸草的解读以来，这种观点已经改变，因为在这部作品中有代数分析的明显迹象。一个特殊的问题——一个堆（hau）和它的第七个等于19——被解决了，我们现在应该解决一个简单的方程；但是艾哈迈斯在其他类似的问题上改变了他的方法。这一发现将代数的发明追溯到公元前1700年左右，如果不是更早的话。

埃及人的代数很可能是最基本的，否则我们应该期望在希腊埃米的作品中找到它的痕迹。其中米利都的泰利斯（公元前640-546年）是第一位。尽管作者的长篇大论和著作的数量如此之多，但从几何定理和问题中提取代数分析的所有尝试都是徒劳的，人们普遍承认，他们的分析是几何的，与代数几乎没有亲缘关系。现存的第一部关于代数的著作是亚历山大数学家迪奥芬图斯（Diophantus，q.v.）的著作，他在公元350年左右兴盛一时。原著由一篇前言和十三本书组成，现在已经丢失，但我们有前六本书的拉丁翻译和奥格斯堡的Xylander（1575）关于多边形数字的另一本书的片段，以及Gaspar Bachet de Merizac（1621-1670）的拉丁和希腊翻译。其他版本已经出版，其中我们可能会提到皮埃尔·费尔马（1670）、T.L.希思（1885）和P.坦纳利（1893-1895）。在这部献给狄奥尼修斯的作品的序言中，狄俄芬图斯解释了他的符号，根据索引中的总和命名正方形、立方体和四次方、动态、立方、动态等等。他把未知的数称为算术、数字，在解中他用最后的s来标记；他解释了幂的产生，简单量的乘法和除法的规则，但他没有处理复合量的加法、减法、乘法和除法。然后，他继续讨论各种简化方程的技巧，给出仍然常用的方法。在这部作品中，他表现出相当的独创性，将他的问题简化为简单的方程，这些方程要么可以直接求解，要么属于不定方程类。他非常认真地讨论了后一类问题，这些问题通常被称为丢番图问题，解决这些问题的方法被称为丢番图分析（见方程式，不确定）。很难相信丢番图的这项工作是在普遍停滞的时期自发产生的。更可能的是，他要感谢早期的作家，他没有提到他们，他们的作品现在已经丢失了；然而，如果没有这项工作，我们应该假设希腊几乎（如果不是完全）不知道代数。

罗马人接替希腊人成为欧洲主要的文明强国，却没有重视他们的文学和科学财富；数学几乎被忽视了；除了在算术计算方面的一些改进外，没有任何实质性的进展需要记录。

在我们学科按时间顺序发展的过程中，我们现在必须转向东方。对印度数学家著作的调查表明，希腊和印度的思维有着根本的区别，前者主要是几何思维和思辨思维，后者主要是算术思维和实用思维。我们发现几何学被忽视了，除非它是为天文学服务的；三角学得到了发展，代数的进步远远超过了丢番图的成就。

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我们对最早的印度数学家Aryabhatta有一定的了解，他在我们这个时代的6世纪初非常活跃。这位天文学家和数学家的名声建立在他的著作《阿雅布哈提亚姆》（Aryabhattiyam）上，该书的第三章专门论述数学。Ganessa是著名的天文学家、数学家和Bhaskara的学者，他引用了这项工作，并单独提到了cuttaca（“粉碎机”），这是一种解决不确定方程的装置。亨利·托马斯·科尔布鲁克（Henry Thomas Colebrooke）是最早的现代印度教科学研究者之一，他认为《雅雅各布哈特》（Aryabhatta）的论述扩展到了确定的二次方程、一次不确定方程，可能还有二次不确定方程。一部名为《太阳知识》（Surya siddhanta）的天文学作品，作者身份不明，可能属于4或5世纪，被印度教徒认为是非常有价值的作品，仅次于大约一个世纪后繁荣的婆罗门笈多（Brahmagupta）。历史系学生对这本书非常感兴趣，因为它展示了希腊科学在阿雅巴塔之前对印度数学的影响。在数学达到最高水平的大约一个世纪之后，勃拉玛笈多（Brahmagupta，公元前598年）蓬勃发展起来，其著作《梵天修行》（Brahma sphuta siddhanta）（“经修订的梵天体系”）中有几章专门论述数学。在其他印度作家中，可能会提到《加尼塔·萨拉》（Ganita sara）（《计算精髓》）的作者克里达拉（Cridhara）和《代数》的作者帕德马纳巴（Padmanabha）。

一段数学停滞的时期似乎已经占据了印度人的思维长达几个世纪，因为下一位作家的作品在任何时刻都能超越婆罗门笈多。我们指的是Bhaskara Acarya，他的作品《Siddhanta ciromani》（“Anastronomic系统的王冠”）写于1150年，包含两个重要章节，Lilavati（“美丽的[科学或艺术]”）和Viga ganita（“根提取”），这两个章节都被数学和代数所取代。

有关详细信息，可参考H.T.科尔布鲁克（1817年）的《梵天-悉达多》和《悉达多-西罗马尼》以及E.伯吉斯（E.Burgess）的《苏利亚-悉达多》数学章节的英文译本，以及W.D.惠特尼（1860年）的注释。

希腊人是从印度教那里借用了他们的代数，还是从印度教那里借用了他们的代数，这个问题一直是许多讨论的主题。毫无疑问，希腊和印度之间经常有交通往来，而且极有可能伴随着农产品的交换而来的是思想的转移。莫里茨·坎托怀疑丢番图方法的影响，尤其是在不确定方程的印度教解中，其中某些技术术语很可能起源于希腊。然而，可以肯定的是，印度教阿尔及特人远远领先于丢番图。希腊象征主义的缺陷得到了部分弥补；减法是通过在减数上放置一个点来表示的；乘法，将bha（bhavita的缩写，简称“乘积”）放在factom之后；除数，将除数置于股息下；平方根，在数量前插入ka（karana的缩写，无理）。未知的名字叫雅瓦塔瓦，如果有几个，第一个用这个名字，其他的用颜色的名字来命名；例如，x由ya表示，y由ka表示（来自卡拉卡，黑色）。

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丢番图思想的一个显著改进是，印度教承认一个二次方程存在两个根，但负根被认为是不充分的，因为找不到对它们的解释。人们还认为他们期待着更高方程解的发现。不定方程的研究取得了很大进展，这是丢番图擅长的一个分析分支。但是，虽然丢番图的目标是获得单一的解决方案，但印度教徒努力寻求一种通用的方法，通过这种方法可以解决任何不确定的问题。在这方面，他们取得了完全成功，因为他们获得了方程ax（+或-）by=c，xy=ax+by+c（自从Leonhard Euler重新发现）和cy2=ax2+b的通解。最后一个等式的一个特殊情况，即y2=ax2+1，极大地消耗了现代代数的资源。它是由皮埃尔·德·费尔马（Pierre de Fermat）向贝西（Bernhard Frenicle de Bessy）提出的，并于1657年向所有数学家提出的。约翰·沃利斯（John Wallis）和布朗克勋爵（Lord Brounker）共同获得了一个乏味的解决方案，该解决方案于1658年发表，之后于1668年由约翰·佩尔（John Pell）在其《代数》中发表。费马在他的关系中也给出了一个解决方案。虽然佩尔与解决方案无关，但后人将方程称为佩尔方程或问题，更正确的说法是，它应该是印度教问题，以承认婆罗门的数学成就。

赫尔曼·汉克尔（Hermann Hankel）指出了印度教徒从数量到数量的转变，反之亦然。虽然这种从不连续到连续的转变并不是真正的科学，但它极大地促进了代数的发展。汉克尔确认，如果我们将代数定义为对有理数和无理数或量的算术运算的应用，那么婆罗门人才是代数的真正发明者。

7世纪，由于穆罕默德鼓舞人心的宗教宣传，分散的阿拉伯部落融合在一起，伴随着一个迄今为止默默无闻的种族的知识力量迅速崛起。阿拉伯人成为了印度和希腊科学的保管人，而欧洲则被内部纠纷撕裂。在阿巴斯王朝的统治下，巴格达成为科学思想的中心；来自印度和叙利亚的医生和天文学家蜂拥而至；希腊和印度手稿被翻译（由哈里发马蒙（813-833）开始，并由他的继任者巧妙地继续）；在大约一个世纪的时间里，阿拉伯人掌握了大量的希腊和印度知识。欧几里得的元素在哈伦·拉希德（Harun al-Rashid，786-809）统治时期首次被翻译，并由马蒙勋章（order of Mamun）修订。但这些译文被认为是不完美的，托比特·本·科拉（Tobit ben Korra，836-901）仍未能写出令人满意的版本。托勒密的《阿拉木图》、阿波罗尼斯、阿基米德、丢番图和《婆罗门诗集》的部分作品也被翻译。第一位著名的阿拉伯数学家是Mahomed ben Musa al-Khwarizmi，他在Mamun统治时期十分繁荣。他关于代数和算术的论文（其后半部分仅以拉丁翻译形式现存，于1857年发现）没有希腊和印度教徒不知道的内容；它展示了与这两个种族相关的方法，希腊元素占主导地位。专门讨论代数的部分的标题是al-jeur wa'lmuqabala，算术以“Speaked has Algoritmi”开头，Khwarizmi或Hovarezmi的名字已经传入Algoritmi一词，Algoritmi一词已经进一步转化为更现代的algorism和algorithm一词，表示一种计算方法。

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托比特·本·科拉（Tobit ben Korra，836-901），出生于美索不达米亚的哈兰，是一位多才多艺的语言学家、数学家和天文学家，他翻译了许多希腊作家的作品，为人们提供了卓越的服务。他对友好数（q.v.）的性质和角度三等分问题的研究非常重要。阿拉伯人在研究选择上比希腊人更接近印度教徒；他们的哲学家将思辨性的论文与更进步的医学研究相结合；他们的数学家忽视了二次曲线和丢番图分析的微妙之处，而更特别地致力于完善数字系统（见数字）、算术和天文学（q.v.）。因此，尽管代数取得了一些进展，天文学和三角学（q.v.）是这个种族的天才。法赫里·德斯阿尔·卡比（Fahri des al-Karbi）在11世纪初十分繁荣，他是阿拉伯最重要的代数著作的作者。他遵循丢番图的方法；他在不确定方程方面的工作与印度的方法没有相似之处，也没有从丢番图那里收集到的东西。他用几何和代数两种方法求解二次方程，以及x2n+axn+b=0形式的方程；他还证明了前n个自然数之和与其平方和立方之和之间的某些关系。

三次方程通过确定圆锥截面的交点进行几何求解。阿基米德将一个球体由一个平面分割成两段并具有规定比率的问题首先由Al Mahani表示为一个三次方程，第一个解由Abu Gafar Al Hazin给出。规则七边形可以内接或外切到给定圆的边的确定简化为一个更复杂的方程，该方程首次由Abul Gud成功求解。几何求解方程的方法是由霍拉桑的奥马尔·哈亚姆（Omar Khayyam）发展起来的，他在11世纪十分繁荣。作者质疑用纯代数解三次方程和用几何解二次方程的可能性。他的第一个论点直到15世纪才被推翻，但他的第二个论点被阿布·韦塔（Abul Weta，940-908）推翻，他成功地解决了x4=a和x4+ax3=b的形式。

尽管三次方程式几何分辨率的基础应归于希腊人（因为尤托修斯将求解方程式x3=a和x3=2a3的两种方法分配给了梅纳契姆斯），但阿拉伯人随后的发展必须被视为他们最重要的成就之一。希腊人成功地解决了一个孤立的例子；阿拉伯人完成了数值方程的通解。

相当多的注意力集中在阿拉伯作家对待他们的主题的不同风格上。莫里茨·坎托曾提出，曾经有两个学派，一个同情希腊人，另一个同情印度教；而且，尽管后者的著作首先被研究，但它们很快就被抛弃，取而代之的是更清晰的希腊方法，因此，在后来的阿拉伯作家中，印度方法几乎被遗忘，他们的数学基本上变成了希腊文字。

转向西方的阿拉伯人，我们发现同样的开明精神；科尔多瓦，西班牙摩尔帝国的首都，和巴格达一样是一个学习中心。已知最早的西班牙数学家是Al Madshritti（公元1007年），他的名声建立在一篇关于友好数字的论文上，以及他的学生在科尔多亚、达马和格拉纳达建立的学校上。塞维利亚的加比尔·本·阿拉（Gabir ben Allah），俗称盖伯（Geber），是一位著名的天文学家，显然精通代数，因为人们认为“代数”一词是由他的名字合成的。

当摩尔帝国开始衰落时，他们在三四个世纪中大量培养的聪明才智变得衰弱，在这一时期之后，他们未能产生一位可与七至十一世纪作家媲美的作家。

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