什么是马尔可夫不等式？(markov's inequality?)
马尔可夫不等式是概率论中一个有用的结果，它给出了关于概率分布的信息。值得注意的是，不平等性适用于任何具有正值的分布，无论它具有什么其他特征。马尔可夫不等式给出了高于特定值的分布百分比的上界。
马尔可夫不等式的表述
马尔可夫不等式指出，对于正随机变量X和任何正实数a，X大于或等于a的概率小于或等于X除以a的期望值。
可以使用数学符号更简洁地说明上述描述。在符号中，我们将马尔可夫不等式写成：
P（X）≥ （a）≤ E（X）/a
不平等的例证
为了说明这个不等式，假设我们有一个非负值分布（例如卡方分布）。如果这个随机变量X的期望值为3，我们将研究一些a值的概率。
- 对于a=10，马尔可夫不等式表示P（X≥ 10) ≤ 3/10 = 30%. 所以X大于10的概率是30%。
- 对于a=30，马尔可夫不等式表示P（X≥ 30) ≤ 3/30 = 10%. 所以X大于30的概率是10%。
- 对于a=3，马尔可夫不等式表示P（X≥ 3) ≤ 3/3 = 1. 概率为1=100%的事件是确定的。这意味着随机变量的某个值大于或等于3。这不应该太令人惊讶。如果X的所有值都小于3，则预期值也将小于3。
- 随着a值的增加，商E（X）/a将变得越来越小。这意味着X非常非常大的概率非常小。同样，如果期望值为3，我们不会期望有太多值非常大的分布。
不等式的使用
如果我们对所研究的分布有更多的了解，那么我们通常可以改进马尔可夫不等式。使用它的价值在于它适用于任何具有非负值的分布。
例如，如果我们知道一所小学学生的平均身高。马尔可夫不等式告诉我们，身高超过平均身高六倍的学生不超过六分之一。
马尔可夫不等式的另一个主要用途是证明切比雪夫不等式。这一事实导致“切比雪夫不等式”的名称也被应用于马尔可夫不等式。不平等命名的混乱也是历史环境造成的。安德烈·马尔科夫是帕夫努蒂·切比雪夫的学生。切比雪夫的工作包含了马尔可夫不等式。
- 发表于 2021-10-08 08:06
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- 分类：数学
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