什么是切比雪夫不等式？(chebyshev's inequality?)
切比雪夫不等式指出，样本中至少1-1/K2的数据必须在平均值的K个标准偏差范围内（这里K是大于1的任何正实数）。
任何正态分布或钟形曲线形状的数据集都有几个特征。其中之一涉及数据相对于平均值标准偏差数量的传播。在正态分布中，我们知道68%的数据是平均值的一个标准偏差，95%是平均值的两个标准偏差，大约99%在平均值的三个标准偏差范围内。
但是，如果数据集不是以钟形曲线的形式分布，那么不同的数量可能在一个标准偏差内。切比雪夫不等式提供了一种方法，可以知道任何数据集的平均值的K标准偏差范围内的数据部分。
关于不平等的事实
我们也可以通过用概率分布替换短语“样本数据”来说明上述不等式。这是因为切比雪夫不等式是概率的结果，然后可以应用于统计学。
值得注意的是，这个不等式是一个已经用数学证明的结果。它不像平均值和模式之间的经验关系，也不像连接范围和标准偏差的经验法则。
不平等的例证
为了说明不等式，我们将研究几个K值：
- 对于K=2，我们有1-1/K2=1-1/4=3/4=75%。所以切比雪夫不等式说，任何分布的数据值中至少有75%必须在平均值的两个标准偏差之内。
- 对于K=3，我们有1-1/K2=1-1/9=8/9=89%。所以切比雪夫不等式说任何分布的数据值中至少有89%必须在平均值的三个标准偏差之内。
- 对于K=4，我们有1-1/K2=1-1/16=15/16=93.75%。所以切比雪夫不等式说，任何分布的数据值中至少有93.75%必须在平均值的两个标准偏差之内。
实例
假设我们在当地动物收容所采集了狗的体重样本，发现样本的平均值为20磅，标准偏差为3磅。通过使用切比雪夫不等式，我们知道我们抽样的狗中至少有75%的重量是平均值的两个标准偏差。标准偏差的两倍为2 x 3=6。从20的平均值中减去并加上。这告诉我们，75%的狗的体重在14磅到26磅之间。
不等式的使用
如果我们对我们正在处理的分布有更多的了解，那么我们通常可以保证更多的数据是偏离平均值一定数量的标准偏差。例如，如果我们知道我们有一个正态分布，那么95%的数据是平均值的两个标准偏差。切比雪夫不等式说，在这种情况下，我们知道至少75%的数据是平均值的两个标准差。正如我们在本例中看到的，它可能远远超过这75%。
这个不等式的价值在于，它给了我们一个“更坏的情况”的场景，在这个场景中，我们对样本数据（或概率分布）的唯一了解是均值和标准差。当我们对数据一无所知时，切比雪夫不等式为数据集的分布提供了一些额外的见解。
不平等的历史
这个不等式是以俄国数学家帕夫努蒂·切比雪夫命名的，他于1874年首次在没有证明的情况下提出了这个不等式。十年后，马尔可夫在他的博士论文中证明了这个不等式。论文由于英语中俄语字母的表示方式不同，切比雪夫也被拼写为切比雪夫。
- 发表于 2021-10-09 19:20
- 阅读 ( 348 )
- 分类：数学
你可能感兴趣的文章
社会不平等(social inequality)和社会分层(social stratification)的区别
...，通过本文让我们理解社会不平等与社会分层的区别。 什么是社会不平等(social inequality)？ 首先让我们从社会不平等开始。社会不平等可以定义为一个社会的资源、机会、回报的不平等分配。其次，由于个人的特点，个人受到不...
异方差性
...集，大多数数据点必须在切比雪夫定理（也称为切比雪夫不等式）所描述的平均值的特定标准偏差范围内。这为随机变量与平均值不同的概率提供了指导。 根据规定的标准差数量，随机变量在这些点内存在的概率是特定的。例...
不平等(inequalities)和方程(equations)的区别
不等式与方程 代数是数学的一个分支，研究运算和关系，以及方程、项和代数结构的构造和概念。它的根源可以追溯到古代巴比伦人。 他们开发了计算数学问题解决方案的公式，而早期的埃及、希腊和中国数学家使用几何方...
不等式与方程的区别
不等式表示对“”符号左边的变量和右边的变量的比较计算。或者，等式表示“=”符号左右两侧变量的相等性。不等式比较值的相对大小，而等式证明它们是相等的。这一开创性的差异也引发了一系列必须认识的其他差异。不...
如何国家理论解释社会不平等(states theory explains social inequality)
...文，题为“地位特征和社会互动” 他们的理论解释了为什么社会等级制度出现在以任务为导向的小团体中。根据该理论，已知信息和基于某些特征的隐含假设都会导致一个人对另一个人的能力、技能和价值进行评估。当这种结...
什么是马尔可夫不等式？(markov's inequality?)
马尔可夫不等式是概率论中一个有用的结果，它给出了关于概率分布的信息。值得注意的是，不平等性适用于任何具有正值的分布，无论它具有什么其他特征。马尔可夫不等式给出了高于特定值的分布百分比的上界。 马尔...
指数分布中位数
...乘以A，得出中值M=A ln2的结果。 统计学中的中值平均不等式 应提及该结果的一个结果：指数分布Exp（A）的平均值为A，并且由于ln2小于1，因此产品Aln2小于A。这意味着指数分布的中值小于平均值。 如果我们考虑概率密度函...
切比雪夫不等式工作表
切比雪夫不等式说，样本中至少1-1/K2的数据必须在平均值的K标准偏差范围内，其中K是大于1的任何正实数。这意味着我们不需要知道数据分布的形状。仅使用平均值和标准差，我们就可以确定数据量与平均值之间一定数量...
什么是切面机？(a dough cutter?)
面团切割器是一种常见于专业厨房和家庭厨房的厨房用具，主要用于烘焙。尽管有几...
什么是切达干酪？(cheddar cheese?)
切达奶酪是一种半硬的牛奶奶酪，口味从温和到特别尖锐不等。这种奶酪是世界上最...
0 篇文章
