方法1方法1/3：三项式除以二项式

1. 1.阅读问题。这个问题可能会以一个简单的除法问题呈现给你，并附有求商的说明。你也可以有一个分数，一个多项式作为分子，一个二项式作为分母。你应该意识到这是一个执行除法的机会。例如，一个除法问题可以表述为：“当3x2+20x+12{\displaystyle 3x^{2}+20x+12}除以x+6{\displaystyle x+6}时，求商。”同样的问题可能会问你，“3x2+20x+12{\displaystyle 3x^{2}+20x+12}的一个因素是x+6{\displaystyle x+6}。另一个因素是什么？”最后，完全相同的问题可能只是出现为3x2+20x+12x+6{\displaystyle{\frac{3x^{2}+20x+12}{x+6}}。你应该认识到分数形式意味着分子除以分母。

2. 2.设置一个长除法问题。就像处理数字一样，先画一个长除法符号，类似这样：）'''''''''。作为红利的多项式位于符号下方的空间中。除数位于符号的左侧。“股息”是一个大的术语，你试图找到它的因素。“除数”就是你要除以的因子。“商”是任何除法问题的答案。对于多项式，这个问题看起来像：x+6）3x2+20x+12'{\displaystyle x+6{\overline{）3x^{2}+20x+12}}}。

3. 3估计你商数的第一项。当你用数字进行长除法运算时，你不会试图在一步中除掉整个数字。你看股息的前一两个数字，并估计除数的第一个数字将进入这个数字的多少倍。对于多项式除法，你也会这样做。看看除数的第一项，然后决定第一项的除数是多少倍。例如，如果你将642除以3，你首先要考虑3除以642的第一位数字的次数。三变成六两次，所以你会在除法线上的6上面写一个2。对于多项式除法，考虑分红的第一项，3x2{\DePysType 3x^ { 2 }和除数的第一项，x{DeaStaseX}。3x2{\displaystyle 3x^{2}除以x{\displaystyle x}留下3x{\displaystyle 3x}的因子。在除法符号下的3x2{\displaystyle 3x^{2}上方写3x{\displaystyle 3x}。

4. 用除数乘以你的第一项。当你的商的第一次设置在横线以上时，现在将其乘以整除数。将结果写在股息下面。将3x{\displaystyle 3x}作为商的第一项，将3x{\displaystyle 3x}乘以x+6{\displaystyle x+6}。用每项乘以3。先做3次∗x{\displaystyle 3x*x}然后是3x∗+6{\displaystyle 3x*+6}。将结果3x2+18x{\displaystyle 3x^{2}+18x}写在多项式3x2+20x{\displaystyle 3x^{2}+20x}的前两项下面。

5. 5减去。正如长除法的下一步是从原始数中减去结果一样，在这个问题中，你将减去多项式减去你刚才写下的二项式。你应该把上一步写在多项式的类似项下，这样你就可以简单地向下减法。在下面的二项式下面画一条线，然后减去。在正在运行的示例中，第一个项应该排成一行减去3x2−3x2{\displaystyle 3x^{2}-3x^{2}。这抵消了零。然后减去第二项，20倍−18x{\displaystyle 20x-18x}。在减法行下方，写出2x{\displaystyle 2x}的答案。

6. 6结转下一期股息。在长除法中，你现在可以把数字的下一个数字降下来。在多项式长除法中，复制多项式的下一项。在这个例子中，多项式的下一个（也是最后一个）项是+12{\displaystyle+12}。将其复制到底部，在2x{\displaystyle 2x}旁边，以创建二项式2x+12{\displaystyle 2x+12}。

7. 7.重新开始这个过程。将这个新的被除数2x+2{\displaystyle 2x+2}与除数x+6{\displaystyle x+6}进行比较。考虑第一个项，2x{\DeStudioType 2x}可以划分除数x{\DeaStudioX}的第一个项。2x{\displaystyle 2x}除以x{\displaystyle x}等于2{\displaystyle 2}。写下这个结果，2{\displaystyle 2}作为问题顶部商的下一项。因为2{\displaystyle 2}是正数，所以将其写为+2{\displaystyle+2}。这将给出除法线上方3x+2{\displaystyle 3x+2}的商。

8. 8将商的最后一项乘以除数。通过乘法继续这个过程。在本例中，将+2{\displaystyle+2}乘以除数x+6{\displaystyle x+6}的每个项。这将给出结果2x+12{\displaystyle 2x+12}。将这个结果写在长除法题的底部，将这些项与之前减法的结果对齐。

9. 9减去。将常用术语排成一行，然后减去。前面减法题底部的二项式是2x+12{\displaystyle 2x+12}。下面是最新的产品，也是2x+12{\displaystyle 2x+12}。当你减去每一项，结果将是零。

10. 10.报告你的结果。当你使用了初始多项式的所有项，减法将所有项抵消为零，你就完成了长除法。3x2+20x+12{\displaystyle 3x^{2}+20x+12}除以x+6{\displaystyle x+6}的结果是3x+2{\displaystyle 3x+2}。或者，如果以分数形式处理问题，结果将如下所示：3x2+20x+12x+6=（3x+2）（x+6）x+6=3x+2{\displaystyle{\frac{3x^{2}+20x+12}{x+6}={\frac{（3x+2）（x+6）}{x+6}=3x+2}

方法2方法2/3：使用更长的多项式进行长除法

1. 1.解决问题。就像处理一个更简单的问题一样，把除数写在长除法条下面，除数写在它的左边。假设你被要求求4x3+9x2的商−十、−6{\displaystyle 4x^{3}+9x^{2}-x-6}除以x+2{\displaystyle x+2}。设置较长的多项式4x3+9x2−十、−6{\displaystyle 4x^{3}+9x^{2}-x-6}位于除法栏下方，除数x+2{\displaystyle x+2}位于左侧。它看起来是这样的：x+2）4x3+9x2−十、−6'{\displaystyle x+2{\overline{）4x^{3}+9x^{2}-x-6}}。

2. 2遵循与之前相同的步骤。遵循与之前相同的四个长除法步骤：估算、乘法、减法、进位。问题越长，唯一的区别就是你会继续重复这个模式更多次。考虑数值长除法问题24）90048 {{DeStudioType 24 {Ω{}）}}}}。首先，你要把2估计成9，然后再往下算0，最后再往下算其他0，4，然后再往下算8。每个数字代表一整轮的“估计、乘、减、结”对于较长的多项式长除法，被除数中的每个项，4x3{\displaystyle 4x^{3}，9x2{\displaystyle 9x^{2}，−x{\displaystyle-x}和−6{\displaystyle-6}表示“估计、乘法、减法、结转”的一个完整周期

3. 3.坚持到底。继续工作，直到你得到最后的减法，没有更多的条款进行下去。在这个例子中，除法应该是均匀的，这样最后的减法结果就是零。

4. 4.报告你的结果。正如你在除法大数时期望一个更大的数作为商一样，在做更长的代数除法问题时，你可能会有一个更长的多项式作为商。在本例中，4x3+9x2的结果−十、−6{\displaystyle 4x^{3}+9x^{2}-x-6}除以x+2{\displaystyle x+2}是三项式4x2+x−3{\displaystyle 4x^{2}+x-3}。

方法3方法3/3：处理多项式长除法中的余数

1. 1解决你的问题。当你开始一个多项式长除法问题时，你一开始就不知道是否有余数。像处理长除法一样设置问题。例如，假设您有一个问题x2+5x+9x+3{\displaystyle{\frac{x^{2}+5x+9}{x+3}}。将其设置为：x+3）x2+5x+9'{\displaystyle x+3{\overline{）x^{2}+5x+9}}。

2. 估计你的商的第一项。看看股息的第一项和除数的第一项。估算商并将结果写在横线上方。在本例中，商的第一项是x2{\displaystyle x^{2}，除数的第一项是x{\displaystyle x}。x2{\displaystyle x^{2}}除以x{\displaystyle x}得到x{\displaystyle x}次，因此将结果x{\displaystyle x}写在分割条线上方。

3. 3将商项乘以除数。将你对商的第一个估计乘以除数，求出第一步的部分积。把结果写在股息下面。对于这个问题，用除数x+3{\displaystyle x+3}的项乘以你在条线上方写的x{\displaystyle x}。将结果x2+3x{\displaystyle x^{2}+3x}写在相应的项x2+5x{\displaystyle x^{2}+5x}下面。

4. 4减去。在最后一个结果下面画一条线，然后逐项减去。把差异写在问题的底部。在本例中，第一个术语将作为x2取消−x2=0{\displaystyle x^{2}-x^{2}=0}。第二项减法是5倍−3x{\displaystyle 5x-3x}。将结果2x{\displaystyle 2x}写在问题的底部。

5. 5求出多项式的下一项。和之前一样，将分红多项式的下一项复制到底部，并将其添加到减法步骤的结果中。在这种情况下，多项式的最后一项是+9{\displaystyle+9}。将其复制到底部，并将其添加到上一步中的2x{\displaystyle 2x}。这将创建二项式2x+9{\displaystyle 2x+9}。

6. 6.重复长除法。看第一项，决定除数x+3{\displaystyle x+3}的x{\displaystyle x}将进入底部的2x{\displaystyle 2x}的次数。在问题顶部除法线上方2{\displaystyle 2}处写下这个结果。这会给你一个x+2{\displaystyle x+2}的商。

7. 7将商的最后一项乘以除数。用你刚刚放在商中的术语乘以除数。把结果写在长除法题的底部。在本例中，将+2{\displaystyle+2}乘以除数x+3{\displaystyle x+3}的每一项。在底部写下结果2x+6{\displaystyle 2x+6}。将常用术语相互对齐。

8. 8减去。在最后一步下画一条线，减去常用术语。在示例问题中，这应该保留2x+9{\displaystyle 2x+9}减去2x+6{\displaystyle 2x+6}。第一个术语，2x−2x{\displaystyle 2x-2x}将取消。最后的减法是9−6{\displaystyle 9-6}。剩下的是3。因为没有更多的股息多项式项要执行，所以您的工作已经完成，除了报告您的结果。

9. 9.报告你的结果。记住当只用数字除法时如何处理余数。在你学会小数点之前，你学会了把余数写成除数上的分数。对多项式除法也一样。你将余数写成分数的分子，除数作为分母。考虑数值例子，3）35 {{DeStudioStudio 3 {Ω{}）}}}}。结果是11，剩下的是2。你的答案是1123{\displaystyle 11{\frac{2}{3}}。对于多项式除法，商为x+2{\displaystyle x+2}，余数为3{\displaystyle 3}。把余数写成除数上的一个分数，这样你就可以用x+2+3x+3{\displaystyle x+2+{\frac{3}{x+3}}来报告你的完整商。

• 和其他技能一样，熟能生巧。如果你研究更多的多项式长除法问题，你会很好地学习模式，并且能够很容易地解决更长的问题。