如何推导二次公式(derive the quadratic formula)

代数学生学习的最重要技能之一是二次公式，或x=−b±b2−4ac2a。{\displaystyle x={\frac{-b\pm{\sqrt{b ^{2}-4ac}}}}{2a}}使用二次公式，求解任何形式为ax2+bx+c=0{\displaystyle ax ^{2}+bx+c=0}的二次方程，只需将系数a、b、c{\displaystyle a、b、c}替换到公式中即可。虽然对许多人来说，仅...

步骤

  1. 1从一般二次方程的标准形式开始。虽然任何包含x2{\displaystyle x ^{2}}项的方程都符合二次型条件，但标准形式将所有项都设置为0。记住，a，b，c{\displaystyle a，b，c}是可以是任何实数的系数，所以不要用任何数字代替它们——我们希望使用一般形式。ax2+bx+c=0{\displaystyle ax ^{2}+bx+c=0}唯一的条件是≠0，{\displaystyle a\neq 0，}，否则，方程将简化为线性方程。查看是否可以找到b=0{\displaystyle b=0}和c=0的特殊情况的一般解决方案。{\displaystyle c=0。}
  2. 2两侧的子区域c{\displaystyle c}。我们的目标是隔离x.{\displaystyle x.}首先，我们将其中一个系数移动到另一侧，以便左侧只包含其中包含x{\displaystyle x}的项。ax2+bx=−c{\displaystyle ax ^{2}+bx=-c}
  3. 3用{\displaystyle a}分隔两侧。请注意，我们本可以切换此步骤和上一步，但仍然到达相同的位置。请记住，将一个多项式除以某个值意味着将每个项都除以。这样做可以使我们更容易完成正方形。x2+bax=−ca{\displaystyle x ^{2}+{\frac{b}{a}}x={\frac{-c}{a}}}
  4. 4完成广场。回想一下，目标是重写表达式x2+2◻x个+◻2{\displaystyle x ^{2}+2\Box x+\Box ^{2}}as（x+◻)2，{\displaystyle（x+\Box）^{2}，}其中◻{\displaystyle\Box}是任何系数。你可能不会马上意识到我们能做到这一点。为了更清楚地看到它，将bax{\displaystyle{\frac{b}{a}}}x}重写为2b2ax{\displaystyle 2{\frac{b}{2a}}}x}，方法是将该项乘以22。{\displaystyle{\frac{2}{2}}.}我们可以这样做，因为乘以1不会改变任何东西。现在我们可以清楚地看到，在我们的案例中，◻=b2a，{\displaystyle\Box={\frac{b}{2a}}，}，所以我们只缺少◻2{\displaystyle\Box ^{2}}术语。因此，为了完成正方形，我们将其添加到两侧，即，（b2a）2=b24a2。{\displaystyle\left（{\frac{b}{2a}}\right）^{2}={\frac{b ^{2}}}{4a ^{2}}}}}}然后，当然，我们要考虑因素。x2+2b2ax+b24a2=b24a2−ca（x+b2a）2=b24a2−ca{\displaystyle{\begin{aligned}x ^{2}+2{\frac{b}{2a}}x+{\frac{b ^{2}}}{4a ^{2}}}amp={\frac{b ^{2}}{4a ^{2}}}-{\frac{c}{a}}\\ \左（x+{\frac{b}{2a}}\右）^{2}&amp={\frac{b ^{2}}{4a ^{2}}}-{\frac{c}{a}}\end{aligned}}}这里很清楚≠0，{\displaystyle a\neq 0，}，因为{\displaystyle a}在分母中，不能除以0。如果需要，可以展开左侧，以确认完成方形工作。
  5. 5将右侧写在公分母下。这里，我们希望两个分母都是4a2，{\displaystyle4a ^{2}，}，所以将−ca{\displaystyle{\frac{-c}{a}}}项乘以4a4a。{\displaystyle{\frac{4a}{4a}}。}（x+b2a）2=b24a2−4ac4a2=b2−4ac4a2{\显示样式{\开始{对齐}\左（x+{\分形{b}{2a}}\右）^{2}&amp={\frac{b ^{2}}{4a ^{2}}}}-{\frac{4ac}{4a ^{2}}}}}}}\\&amp={\frac{b ^{2}-4ac}{4a ^{2}}}}\end{对齐}}}
  6. 6求每边的平方根。然而，您必须认识到，这样做实际上是在做两个步骤。当你取d2的平方根时，{\displaystyle d ^{2}，}你没有得到d。{\displaystyle d}你实际上得到了它的绝对值，d |。{\displaystyle | d |.}这个绝对值在求两个根时都很关键——简单地将平方根放在两边只会得到一个根|x+b2a |=b2−4ac4a2{\displaystyle\left{\x+{\frac{b}{2a}}}\right{\sqrt{\frac{b^{2}-4ac}{4a ^{2}}}}}}现在，我们可以通过在右侧放置一个±{\displaystyle\pm}来去除绝对值栏。我们可以这样做，因为绝对值不区分正负，所以它们都是有效的。这就是为什么二次方程允许我们得到两个根。x+b2a=±b2−4ac4a2{\displaystyle x+{\frac{b}{2a}}=\pm{\sqrt{\frac{b ^{2}-4ac}{4a ^{2}}}}}让我们进一步简化此表达式。因为商的平方根是平方根的商，所以我们可以将右侧写为±b2−4ac4a2{\displaystyle{\frac{\pm{\sqrt{b ^{2}-4ac}}}}}{\sqrt{4a ^{2}}}}}}}}然后我们可以取分母的平方根。x+b2a=±b2−4ac2a{\displaystyle x+{\frac{b}{2a}}}={\frac{\pm{\sqrt{b ^{2}-4ac}}}{2a}}
  7. 7通过从两侧减去b2a{\displaystyle{\frac{b}{2a}}}，隔离x{\displaystyle x}。x个=−b2a±b2−4ac2a{\displaystyle x={\frac{-b}{2a}}\pm{\frac{\sqrt{b ^{2}-4ac}}{2a}}}
  8. 8将右侧写在公分母下。这就是二次公式，一个以标准形式求解任何二次方程的公式。这适用于任何a、b、c{\displaystyle a、b、c}，并输出一个x{\displaystyle x}，它可以是实数也可以是复数。要确认此过程是否有效，只需按照本文的相反顺序执行步骤即可恢复标准表单。x个=−b±b2−4ac2a{\displaystyle x={\frac{-b\pm{\sqrt{b ^{2}-4ac}}}}{2a}}}
  • 值得注意的是，二次公式也适用于复系数，尽管您可能需要对最终答案进行进一步简化，并且根不再以共轭对形式出现。然而，二次表达式的问题几乎总是用实系数给出的。

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