如何从麦克斯韦方程推导光速(derive the speed of light from maxwell's equations)

麦克斯韦方程组描述了电场E{\displaystyle\mathbf{E}}和磁场B{\displaystyle\mathbf{B}}如何相互作用，也预测了光速，因为光是电磁波。因此，这里的最终目标是获得波动方程。...

步骤

  1. 1从真空中的麦克斯韦方程组开始。在真空中，电荷密度ρ=0{\displaystyle\rho=0}，电流密度J=0。{\displaystyle\mathbf{J}=0。}∇⋅E=0∇⋅B=0∇×E=−∂B∂t型∇×B=μ0ϵ0∂E∂t{\displaystyle{\begin{aligned}\nabla\cdot\mathbf{E}&amp=0 \\\nabla\cdot\mathbf{B}&amp=0 \\\nabla\times\mathbf{E}&amp=-{\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}\\\\nabla\times\mathbf{B}&amp=\mu{0}\epsilon{0}{\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}}\end{aligned}}}}，其中μ0{\displaystyle\mu{0}}是磁导率常数，而{\displaystyle\epsilon{0}}是介电常数。电场和磁场之间的相互缠绕在这里得到了充分的展示。
  2. 2测量法拉第定律两侧的旋度。∇×(∇×E）=∇×−∂B∂t型=−∂∂t型(∇×B）{\displaystyle{\begin{aligned}\nabla\times（\nabla\times\mathbf{E}）&amp=\nabla \times-{\frac{\partial\mathbf{B}}}{\partial t}}\\&amp=-{\frac{\partial}{\partial t}（\nabla\times\mathbf{B}）\end{aligned}}}注意，如果函数表现良好，偏导数会相互转换。
  3. 3代替安培-麦克斯韦定律。使用BAC-CAB标识∇×(∇×E）=∇(∇⋅E）−∇2E{\displaystyle\nabla\times（\nabla\times\mathbf{E}）=\nabla（\nabla\cdot\mathbf{E}）-\nabla ^{2}\mathbf{E}}位于左侧，并认识到∇⋅E=0，{\displaystyle\nabla\cdot\mathbf{E}=0，}∇(∇⋅E）−∇2E类=−μ0ϵ0∂2E类∂t2级∇2E=μ0ϵ0∂2E类∂t2.{\displaystyle{\begin{aligned}\nabla（\nabla\cdot\mathbf{E}）-\nabla ^{2}\mathbf{E}&amp=-\mu{0}\epsilon{0}{\frac{\partial ^{2}\mathbf{E}}}{\partial t ^{2}}}}\\\nabla ^{2}\mathbf{E}&amp=\mu{0}\epsilon{0}{\frac{\partial ^{2}\mathbf{E}}{\partial t ^{2}}}}。\上述方程是三维波动方程。
  4. 4重写一维波动方程。∂2E类∂x2=μ0ϵ0∂2E类∂t2.{\displaystyle{\frac{\partial ^{2}E}{\partial x ^{2}}}}}=\mu{0}\epsilon{\frac{\partial ^{2}E}{\partial t ^{2}}}}这个方程的通解是f（x−vt）+g（x+vt），{\displaystyle f（x-vt）+g（x+vt），}其中v{\displaystyle v}是速度，λ{\displaystyle\lambda}是波长。这里，f{\displaystyle f}和g{\displaystyle g}是两个任意函数，分别描述在正方向和负方向传播的波。由于这是非常普遍的，我们可以选择最常见的解决方案，即沿传播方向移动的正弦函数。所以我们可以把解写成E=E0sin⁡（2πλ（x−vt）），{\displaystyle E=E\u{0}\sin\left（{\frac{2\pi}{\lambda}（x-vt）\right），}其中E0{\displaystyle E\u{0}}是电场的振幅（该量稍后将被抵消）。
  5. 5两次区分关于x{\displaystyle x}和t{\displaystyle t}的解决方案。∂2E类∂x2个=−E0（2πλ）2sin⁡（2πλ（x−vt））∂2E类∂t2级=−E0（2πvλ）2sin⁡（2πλ（x−vt））{\displaystyle{\begin{aligned}{\frac{\partial ^{2}E}{\partial x ^{2}}}}amp=-E{0}\左（{\frac{2\pi}{\lambda}}\右）^{2}\左（{\frac{2\pi}{\lambda}}}（x-vt）\right）\{\frac{\partial^{2}E}{\partial t^{2}}}amp=-左（{frac{2\pi v}{\lambda}}\right）{2}\sin\left（{\frac{2\pi}{\lambda}（x-vt）\right）\end{aligned}
  6. 6将这些方程替换回波动方程。请注意，sin{\displaystyle\sin}表达式会取消。−E0（2πλ）2=μ0ϵ0[−E0（2πvλ）2]1=μ0ϵ0v2{\displaystyle{\begin{aligned}-E\u{0}\left（{\frac{2\pi}{\lambda}\right）^{2}&amp=\mu{0}\epsilon{0}\left[-E\u{0}\left（{\frac{2\pi v}{\lambda}}\right）^{2}\right]\\1&amp=\mu{0}\ε{0}v ^{2}\ end{对齐}}}
  7. 7得出答案。v=1μ0ϵ0≈3×108米秒−1.{\displaystyle v={\sqrt{\frac{1}{\mu{0}\epsilon{0}}}}\大约3倍于10 ^{8}{\text{m s}}}^{-1}右边的表达式正好等于光速。事实上，光不仅以电磁波的速度传播，它还是一种电磁波。

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