什么是伽马函数？(the gamma function?)
伽马函数是一个有点复杂的函数。此函数用于数理统计。它可以被认为是一种推广阶乘的方法。
阶乘函数
在我们的数学生涯中，我们很早就了解到，为非负整数n定义的阶乘是一种描述重复乘法的方法。用感叹号表示。例如：
3! = 3x2x1=6和5！=5x4x3x2x1=120。
此定义的一个例外是零阶乘，其中0！=1.当我们查看阶乘的这些值时，我们可以将n与n！配对！。这将给我们分数（0,1），（1,1），（2,2），（3,6），（4,24），（5120），（6720），等等。
如果我们绘制这些点，我们可能会问几个问题：
- 有没有一种方法可以连接点并在图表中填充更多值？
- 是否有一个函数与非负整数的阶乘匹配，但定义在实数的较大子集上。
这些问题的答案是，“伽马函数。”
伽玛函数的定义
伽马函数的定义非常复杂。它涉及一个看起来很奇怪的复杂公式。gamma函数在其定义中使用了一些微积分，以及数字e。与多项式或三角函数等更为常见的函数不同，gamma函数被定义为另一个函数的不适当积分。
gamma函数由希腊字母表中的大写字母gamma表示。这看起来如下所示：Γ（z）
gamma函数的特征
伽马函数的定义可用于证明许多恒等式。其中最重要的是Γ（z+1）=zΓ（z）。我们可以利用这一点，以及直接计算中的Γ（1）=1这一事实：
Γ（n）=（n-1）Γ（n-1）=（n-1）（n-2）Γ（n-2）=（n-1）！
上面的公式建立了阶乘函数和伽马函数之间的联系。这也给了我们另一个理由，为什么定义零阶乘的值等于1是有意义的。
但是我们不需要在gamma函数中只输入整数。任何不是负整数的复数都在gamma函数的域中。这意味着我们可以将阶乘扩展到非负整数以外的数字。在这些值中，最著名（也是最令人惊讶）的结果之一是Γ（1/2）=√π.
与上一个结果类似的另一个结果是Γ（1/2）=-2π。事实上，当函数输入1/2的奇数倍时，伽马函数总是产生pi平方根的倍数输出。
gamma函数的使用
伽马函数出现在许多看似无关的数学领域。特别是，伽马函数提供的阶乘的推广在一些组合数学和概率问题中是有帮助的。一些概率分布直接用伽马函数定义。例如，伽马分布是用伽马函数表示的。这种分布可以用来模拟地震之间的时间间隔。Student的t分布，可用于未知总体标准偏差的数据，以及卡方分布也根据伽马函数定义。
- 发表于 2021-10-09 19:51
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- 分类：数学
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