条件概率的一个简单例子是从一副标准牌中抽出的一张牌成为国王的概率。52张牌中总共有4张王牌，因此概率仅为4/52。与这个计算相关的是以下问题：“我们画一个国王的概率是什么，因为我们已经从甲板上抽了一张牌，它是一个ACE？”在这里，我们考虑牌的内容。仍然有四位国王，但现在只有51张牌在牌组中。如果王牌已经被抽到，那么抽到王牌的概率是4/51。

条件概率定义为给定另一事件已发生的事件概率。如果我们将这些事件命名为A和B，那么我们可以讨论给定B的概率。我们也可以指A依赖于B的概率。

符号

条件概率的表示法因教科书而异。在所有的符号中，我们所指的概率取决于另一个事件。对于给定B的概率，最常见的符号之一是P（A | B）。使用的另一个符号是PB（A）。

公式

有一个条件概率公式将其与a和B的概率联系起来：

P（A | B）=P（A∩ B）/P（B）

本质上，这个公式所说的是，为了计算给定事件B的事件的条件概率，我们将样本空间改变为仅包含集合B。在这样做的过程中，我们不考虑所有事件A，但只有A的一部分也包含在B中。我们刚才描述的集合可以用更熟悉的术语识别为A和B的交集。

我们可以用代数以不同的方式表示上述公式：

P（A）∩ B）=P（A | B）P（B）

例子

我们将根据这些信息重新回顾我们开始的示例。我们想知道的是，如果王牌已经被抽到，那么抽到王牌的可能性有多大。因此，事件A是我们画一个国王。事件B是我们画一张A。

两个事件发生的概率，我们画一个a，然后一个K对应于P（a）∩ B）。该概率值为12/2652。事件B的概率是4/52。因此，我们使用条件概率公式，得出一个王牌的概率比一个王牌的概率为（16/2652）/（4/52）=4/51。

另一个例子

再举一个例子，我们来看看概率实验，我们掷两个骰子。我们可以问的一个问题是，“如果我们得到的总数少于6，那么我们得到3的概率是多少？”

在这里，事件A是我们滚动了一个三，事件B是我们滚动了一个小于六的总和。掷两个骰子总共有36种方法。在这36种方法中，我们可以用10种方法得出少于6种方法的总和：

• 1 + 1 = 2
• 1 + 2 = 3
• 1 + 3 = 4
• 1 + 4 = 5
• 2 + 1 = 3
• 2 + 2 = 4
• 2 + 3 = 5
• 3 + 1 = 4
• 3 + 2 = 5
• 4 + 1 = 5

独立事件

在某些情况下，给定事件B的条件概率A等于A的概率。在这种情况下，我们说事件A和B彼此独立。上述公式变为：

P（A | B）=P（A）=P（A∩ B）/P（B），

我们得到了一个公式，对于独立事件，A和B的概率都是通过乘以这些事件的概率得到的：

P（A）∩ B）=P（B）P（A）

当两个事件相互独立时，这意味着一个事件对另一个没有影响。掷硬币是一个独立事件的例子。一次抛硬币对另一次没有影响。

告诫

要非常小心地确定哪个事件取决于另一个事件。一般来说，P（A | B）不等于P（B | A）。即给定事件B的概率与给定事件A的概率不同。

在上面的一个例子中，我们看到在掷两个骰子时，如果我们掷的总和小于六，掷三的概率是4/10。另一方面，如果我们已经滚动了一个小于6的总和，那么滚动一个小于6的总和的概率是多少？滚动3和小于6的总和的概率为4/36。至少滚动一次的概率为11/36。在这种情况下，条件概率是（4/36）/（11/36）=4/11。