切比雪夫不等式说，样本中至少1-1/K2的数据必须在平均值的K标准偏差范围内，其中​​K是大于1的任何正实数。这意味着我们不需要知道数据分布的形状。仅使用平均值和标准差，我们就可以确定数据量与平均值之间一定数量的标准差。

下面是一些使用不等式的问题。

示例#1

二年级学生的平均身高为5英尺，标准差为1英寸。班上至少有多少人必须在4英尺10英寸到5英尺2英寸之间？​​

解决方案

上述范围内给出的高度与五英尺的平均高度相差两个标准差。切比雪夫不等式表明，至少有1–1/22=3/4=75%的类在给定的高度范围内。

示例2

某家公司的计算机平均使用三年，没有任何硬件故障，标准偏差为两个月。在31个月到41个月之间，至少有百分之多少的电脑可以使用？

解决方案

三年的平均寿命相当于36个月。31个月到41个月的时间与平均值的偏差分别为5/2=2.5。根据切比雪夫不等式，至少有1–1/（2.5）62=84%的计算机可以使用31个月到41个月。

例#3

培养物中的细菌平均存活时间为3小时，标准偏差为10分钟。至少有多少部分细菌能在两到四个小时之间存活？

解决方案

两个小时和四个小时都离平均值相差一小时。一小时对应六个标准差。因此，至少有1-1/62=35/36=97%的细菌在两到四个小时之间存活。

例4

如果我们想确保我们拥有至少50%的分布数据，那么与平均值的最小标准偏差是多少？

解决方案

这里我们使用切比雪夫不等式，并反向工作。我们想要50%=0.50=1/2=1–1/K2。目标是用代数来解K。

我们看到1/2=1/K2。交叉相乘，看看2=K2。我们取两边的平方根，因为K是一些标准偏差，我们忽略了方程的负解。这表明K等于2的平方根。因此，至少50%的数据与平均值的标准偏差在1.4左右。

例5

公交线路#25的平均时间为50分钟，标准偏差为2分钟。这一公交系统的宣传海报上写着“25路公交线路95%的时间都是从uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu？

解决方案

这个问题类似于上一个问题，我们需要解K，平均值的标准偏差数。首先设置95%=0.95=1–1/K2。这表明1-0.95=1/K2。简化为1/0.05=20=K2。所以K=4.47。

现在用上面的术语来表达这一点。至少95%的乘骑距离50分钟的平均时间有4.47个标准差。将4.47乘以标准偏差2，得到9分钟。因此，95%的时间里，25路公交车需要41到59分钟。