在金融领域，由于潜在结果的多样性，在估计数字或金额的未来价值时存在相当多的不确定性和风险。蒙特卡罗模拟（MCS）是一种有助于减少估计未来结果的不确定性的技术。MCS可以应用于复杂的非线性模型，也可以用来评估其他模型的精度和性能。它还可以应用于风险管理、投资组合管理、衍生产品定价、战略规划、项目规划、成本建模等领域。

定义

MCS是一种将模型输入变量中的不确定性转化为概率分布的技术。通过组合分布并从中随机选取值，多次重新计算模拟模型并给出输出概率。

基本特征

• MCS允许同时使用多个输入来创建一个或多个输出的概率分布。
• 不同类型的概率分布可以分配给模型的输入。当分布未知时，可以选择代表最佳拟合的分布。
• 随机数的使用将MCS描述为一种随机方法。随机数必须是独立的；它们之间不应存在相关性。
• MCS将输出生成为一个范围而不是一个固定值，并显示输出值在该范围内出现的可能性。

mcs中常用的几种概率分布

正态分布/高斯分布–在给定平均值和标准偏差且平均值代表变量最可能值的情况下应用的连续分布。它是围绕平均数对称的，没有边界。

对数正态分布——按平均值和标准偏差规定的连续分布。这适用于从零到无穷大、正倾斜且具有正分布自然对数的变量。

三角分布–具有固定最小值和最大值的连续分布。它由最小值和最大值限定，可以是对称的（最可能值=平均值=中间值）或不对称的。

均匀分布–由已知最小值和最大值限定的连续分布。与三角分布相比，出现最小值和最大值之间的值的可能性是相同的。

指数分布–连续分布，用于说明独立事件之间的时间间隔，前提是事件发生率已知。

mcs背后的数学

假设我们有一个实值函数g（X）和概率频率函数P（X）（如果X是离散的），或者概率密度函数f（X）（如果X是连续的）。然后我们可以分别用离散项和连续项定义g（X）的期望值：

E（g（X））=∑−∞+∞g（x）P（x），其中P（x）&gt；0和∑−∞+∞P（x）=1E（g（x））=∫−∞+∞g（x）f（x）dx，其中f（x）&gt；0和∫−∞+∞f（x）dx=1下一步，随机绘制，称为dnx（x1，…，xn）试运行或模拟运行，计算g（x1），…，g（xn）\begin{aligned}&amp；E（g（X））=\sum^{+\infty}{-\infty}g（X）P（X），\\&amp\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\text{where}P（x）&gt；0\text{and}\sum^{+\infty}{-\infty}P（x）=1\\&amp；E（g（X））=\int^{+\infty}{-\infty}g（X）f（X）\，dx，\\&amp\qquad\qquad\qquad\qquad\text{where}f（x）&gt；0\text{and}\int^{+\infty}{-\infty}f（x）\，dx=1\\&amp\text{下一步，对$X（X\u 1，\ldots，X\u n）$随机绘制$n$，称为}\\&amp\text{试运行或模拟运行，计算$g（x\u 1），\ldots，g（x\u n）$}\\&amp\text{并找到示例的$g（x）$的平均值：}\end{aligned}​E（g（X））=−∞∑+∞​g（x）P（x），其中P（x）&gt；0和−∞∑+∞​P（x）=1E（g（x））=∫−∞+∞​g（x）f（x）dx，其中f（x）&gt；0和∫−∞+∞​f（x）dx=1下一步，随机画n张x（x1​,…,新​), 称为试验运行或模拟运行，计算g（x1​),…,g（新）​)​

gn公司μ(x） =1n∑i＝1nG（席），表示E（G（x））的最终模拟值。μ(十） =1n∑i=1ng（X）将是E（g（X））的蒙特卡罗估计量→∞,gn公司μ(十）→E（g（X）），因此我们现在能够用gn的无偏方差计算估计平均值周围的离差μ(十） ：\begin{aligned}&amp；g^\mu\u n（x）=\frac{1}{n}\sum^n\u{i=1}g（x\u i），\text{表示最终模拟的}\\&amp\文本{value of}E（g（X））。\\\\&amp\text{some}g^\mu\u n（X）=\frac{1}{n}\sum^n{i=1}g（X）\text{将是蒙特卡罗}\\&amp\文本{E（g（X））的估计量。\\\\&amp\text{As}n\to\infty，g^\mu\n（X）\to E（g（X）），\text{因此我们现在可以}\\&amp\text{使用}\\&amp；计算估计平均值周围的离差\text{无偏方差}g^\mu（X）\text{：}\\&amp；Var（g^\mu n（X））=\frac{1}{n-1}\sum^n{i=1}（g（X{i）-g^\mu n（X））^2。\end{aligned}​gn公司μ​(x） =n1​i=1∑n​G（席）​), 它表示E（g（X））的最终模拟值。因此μ​(十） =n1​i=1∑n​g（X）将是E（g（X））的蒙特卡罗估计量→∞,gn公司μ​(十）→E（g（X）），因此我们现在能够用gn的无偏方差计算估计平均值周围的离差μ​(十） 地址：​

简单的例子

单价、单位销售和可变成本的不确定性将如何影响息税前利润？

版权单位销售）-（可变成本+固定成本）

让我们用三角分布来解释输入的不确定性——单价、单位销售额和可变成本，三角分布由表中输入的相应最小值和最大值指定。

版权

版权

版权

版权

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灵敏度图

当分析输入对输出的影响时，灵敏度图非常有用。它所说的是，单位销售占模拟息税折旧摊销前利润差异的62%，可变成本占28.6%，单价为9.4%。单位销售与息税前利润之间以及单价与息税前利润之间的相关性为正，或单位销售额或单价的增加将导致息税折旧摊销前利润的增加。另一方面，可变成本与息税前利润呈负相关，通过降低可变成本，我们将增加息税折旧摊销前利润。

版权

请注意，用与实际值不符的概率分布来定义输入值的不确定性，并从中取样，将得到不正确的结果。此外，假设输入变量是独立的可能是无效的。误导性结果可能来自相互排斥的输入，或者如果在两个或多个输入分布之间发现显著相关性。

底线

MCS技术简单灵活。它不能消除不确定性和风险，但通过将概率特性归因于模型的输入和输出，可以使它们更容易理解。它对于确定影响预测变量的不同风险和因素非常有用，因此，它可以导致更准确的预测。还要注意的是，试验的数量不应该太小，因为它可能不足以模拟模型，从而导致出现值的聚类。