二项分布的期望值
二项式分布是一类重要的离散概率分布。这些类型的分布是一系列n个独立的伯努利试验，每个试验的成功概率为常数p。和任何概率分布一样，我们想知道它的平均值或中心是什么。对于这一点，我们真的在问，“二项式分布的期望值是多少？”
直觉与证据
如果我们仔细考虑二项分布，就不难确定这种概率分布的期望值是np。关于这几个例子，请考虑以下几点：
- 如果我们掷100枚硬币，X是人头数，X的期望值是50=（1/2）100。
- 如果我们参加一个有20个问题的多项选择题测试，每个问题有四个选项（其中只有一个是正确的），那么随机猜测意味着我们只希望得到（1/4）20=5个正确的问题。
在这两个例子中，我们都看到E[X]=np。两个案例很难得出结论。虽然直觉是一个很好的工具来指导我们，但它还不足以形成一个数学论证并证明某件事是真的。我们如何确切地证明这个分布的期望值确实是np？
从成功概率p的n次试验的二项分布的期望值和概率质量函数的定义，我们可以证明我们的直觉与数学严密性的成果相匹配。在我们的工作中，我们需要稍微谨慎，在处理由组合公式给出的二项式系数时要灵活。
我们首先使用以下公式：
E[X]=∑X=0nxc（n，X）px（1-p）n–X。
因为求和的每一项都乘以x，对应于x=0的项的值将为0，因此我们可以实际写出：
E[X]=∑X=1nxc（n，X）px（1-p）n-X。
通过操纵C（n，x）表达式中涉及的阶乘，我们可以重写
xc（n，x）=ncn（n-1，x-1）。
这是事实，因为：
xc（n，x）=xn/（x！（n–x）！=n/（x-1）！（n-x）！=n（n-1）/（（x-1）！（（n-1）-（x-1））！）=NC（n-1，x-1）。
因此：
E[X]=∑X=1ncn（n-1，X-1）px（1-p）n-X。
我们从上述表达式中算出n和p：
E[X]=np∑X=1nc（n-1，X-1）px-1（1-p）（n-1）-（X-1）。
变量r=x–1的变化为我们提供了：
E[X]=np∑r=0n-1c（n-1，r）pr（1-p）（n-1）-r。
通过二项式公式，（x+y）k=∑r=0 kC（k，r）xr yk–r上述总和可以重写：
E[X]=（np）（p+（1-p））n-1=np。
上述论点使我们走了很长的路。从二项分布的期望值和概率质量函数的定义开始，我们已经证明了直觉告诉我们的。二项分布B（n，p）的期望值为np。
- 发表于 2021-10-08 08:03
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- 分类：数学
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