二项分布的正态逼近
已知具有二项分布的随机变量是离散的。这意味着在二项分布中可能出现可计数的结果，这些结果之间存在分离。例如，二项式变量的值可以是3或4，但不能是介于3和4之间的数字。
由于二项分布的离散性，连续随机变量可以用来近似二项分布，这有点令人惊讶。对于许多二项分布，我们可以使用正态分布来近似我们的二项概率。
这可以在看n次抛硬币时看到，并让X表示人头数。在这种情况下，我们有一个成功概率为p=0.5的二项分布。随着投掷次数的增加，我们发现概率直方图与正态分布越来越相似。
正规近似的表述
每个正态分布完全由两个实数定义。这些数字是平均值，用于测量分布的中心；标准差，用于测量分布的扩展。对于给定的二项式情况，我们需要能够确定使用哪个正态分布。
选择正确的正态分布取决于二项式设置中的试验次数n和每个试验的恒定成功概率p。我们的二项式变量的正态近似值是np的平均值和（np（1-p）0.5的标准偏差。
例如，假设我们在多项选择题测试的100个问题中猜对了每一个，其中每个问题在四个选项中有一个正确答案。正确答案的数量X是一个二项随机变量，n=100，p=0.25。因此，该随机变量的平均值为100（0.25）=25，标准偏差为（100（0.25）（0.75））0.5=4.33。平均值为25，标准偏差为4.33的正态分布可用于近似该二项分布。
近似值何时合适？
通过使用一些数学，可以证明我们需要使用二项分布的正态近似的一些条件。观测次数n必须足够大，p的值必须使np和n（1-p）都大于或等于10。这是一条经验法则，以统计实践为指导。通常可以使用法线近似，但如果不满足这些条件，则近似可能不是很好的近似。
例如，如果n=100，p=0.25，则我们可以使用法线近似。这是因为np=25，n（1-p）=75。由于这两个数字都大于10，因此适当的正态分布可以很好地估计二项概率。
为什么要使用近似值？
二项式概率是通过使用一个非常简单的公式来计算二项式系数的。不幸的是，由于公式中的阶乘，使用二项式公式很容易遇到计算困难。正态近似允许我们通过与熟悉的朋友（标准正态分布的值表）合作，绕过这些问题。
很多时候，确定一个二项式随机变量落在一个数值范围内的概率是很繁琐的。这是因为要找到一个二项式变量X大于3小于10的概率，我们需要找到X等于4，5，6，7，8和9的概率，然后将所有这些概率相加。如果可以使用正态近似，我们将需要确定对应于3和10的z分数，然后使用标准正态分布的z分数概率表。
- 发表于 2021-09-28 22:53
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- 分类：数学
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