钟形曲线显示了整个统计数据。不同的测量方法，如种子的直径、鱼鳍的长度、SAT上的分数以及一令纸的单张重量，都是如此​绘制钟形曲线时形成钟形曲线。所有这些曲线的一般形状都是相同的。但所有这些曲线都不同，因为它们中的任何一条都不太可能具有相同的平均值或标准偏差。标准偏差较大的钟形曲线较宽，标准偏差较小的钟形曲线较薄。平均值较大的钟形曲线比平均值较小的钟形曲线向右移动更多。​

一个例子

为了让这更具体一点，让我们假设我们测量了500粒玉米的直径。然后，我们记录、分析和绘制这些数据。结果表明，该数据集呈钟形曲线，平均值为1.2cm，标准偏差为0.4cm。现在假设我们对500颗豆子做同样的事情，我们发现它们的平均直径为.8厘米，标准偏差为.04厘米。

上面绘制了这两个数据集的钟形曲线。红色曲线对应于玉米数据，绿色曲线对应于大豆数据。正如我们所看到的，这两条曲线的中心和分布是不同的。

这显然是两条不同的钟形曲线。它们是不同的，因为它们的平均值和标准偏差不匹配。因为我们遇到的任何有趣的数据集都可以有任何正数作为标准差，任何数字作为平均值，我们实际上只是在描绘无限多条钟形曲线的表面。这是一个很大的曲线和太多的处理。解决办法是什么？

非常特殊的钟形曲线

数学的一个目标是尽可能地概括事物。有时几个单独的问题是单个问题的特例。这种涉及钟形曲线的情况就是一个很好的例子。我们可以将所有钟形曲线关联到一条曲线，而不是处理无限多条钟形曲线。这种特殊的钟形曲线称为标准钟形曲线或标准正态分布。

标准钟形曲线的平均值为零，标准偏差为1。通过直接计算，可将任何其他钟形曲线与本标准进行比较。

标准正态分布的特征

任何钟形曲线的所有性质都适用于标准正态分布。

• 标准正态分布的平均值不仅为零，而且中位数和模式也为零。这是曲线的中心。
• 标准正态分布在零处显示镜像对称。曲线的一半在零的左边，一半在右边。如果曲线在零处沿垂直线折叠，则两半将完美匹配。
• 标准正态分布遵循68-95-99.7规则，这为我们提供了一种简单的方法来估计以下内容：大约68%的所有数据在-1和1之间。大约95%的所有数据在-2和2之间。大约99.7%的所有数据在-3和3之间。

我们为什么关心

在这一点上，我们可能会问，“为什么要用标准钟形曲线呢？”这似乎是一个不必要的复杂问题，但随着我们继续统计，标准钟形曲线将是有益的。

我们会发现，统计中的一类问题要求我们找到我们遇到的任何钟形曲线部分下面的区域。钟形曲线对于区域来说不是一个很好的形状。它不像矩形或直角三角形那样有简单的面积公式。寻找钟形曲线部分的面积可能很棘手，事实上非常困难，我们需要使用一些微积分。如果我们不标准化我们的钟形曲线，每次我们想要找到一个区域时，我们都需要做一些微积分。如果我们将曲线标准化，那么计算面积的所有工作都已为我们完成。