什么是钟形曲线(a bell curve)？

钟形曲线是一种常见的变量分布类型，也称为正态分布。“钟形曲线”一词源于这样一个事实，即用来描述正态分布的图形由对称的钟形曲线组成。

曲线上的最高点或钟形物的顶部代表一系列数据中最可能发生的事件（在本例中为其平均值、模式和中值），而所有其他可能发生的事件均围绕平均值对称分布，在峰值的每一侧形成一条向下倾斜的曲线。钟形曲线的宽度由其标准差来描述。

关键要点

• 钟形曲线是描述正态分布的图形，其形状类似钟形。
• 曲线顶部显示了所收集数据的平均值、模式和中位数。 
• 它的标准差描述了钟形曲线在平均值周围的相对宽度。
• 钟形曲线（正态分布）常用于统计，包括分析经济和金融数据。

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钟形曲线

了解钟形曲线

“钟形曲线”一词用于描述正态概率分布的图形化描述，正态概率分布与平均值的潜在标准偏差形成了曲线钟形。标准差是一种用于量化数据离散度的可变性的度量，在一组给定的平均值周围。平均值又是指数据集或序列中所有数据点的平均值，将在钟形曲线的最高点处找到。

金融分析师和投资者在分析证券收益率或整体市场敏感性时，通常使用正态概率分布。在金融学中，描述证券收益的标准差称为波动率。

例如，呈现钟形曲线的股票通常是蓝筹股和波动性较低、行为模式更可预测的股票。投资者利用股票过去收益的正态概率分布，对预期未来收益进行假设。

除了教师在比较考试成绩时使用钟形曲线外，钟形曲线在统计学界也经常被使用，在统计学界它可以得到广泛的应用。钟形曲线有时也用于绩效管理，将以平均方式执行工作的员工置于图的正态分布中。表现最好的和表现最差的分别出现在坡度下降的两侧。在进行绩效评估或做出管理决策时，它对大公司很有用。

钟形曲线示例

钟形曲线的宽度由其标准差定义，标准差是指样本中数据在平均值附近的变化水平。例如，使用经验法则，如果收集100个测试分数并以正态概率分布使用，则这些测试分数的68%应落在高于或低于平均值的一个标准差之内。偏离平均值的两个标准差应包括收集的100个测试分数的95%。偏离平均值的三个标准差应代表99.7%的分数（见上图）。

极端异常值的测试分数，如分数为100或0，将被视为长尾数据点，因此正好位于三个标准偏差范围之外。

钟形曲线与非正态分布

然而，正态概率分布假设在金融界并不总是成立的。股票和其他证券有时表现出非正态分布，而非钟形曲线，这是可行的。

非正态分布比钟形曲线（正态概率）分布的尾部更粗。一条更粗的尾巴，向投资者传递负面信号，表明负回报的可能性更大。

钟形曲线的局限性

使用钟形曲线对绩效进行分级或评估，迫使人们将群体划分为差、一般或好。对于较小的群体，必须在每个类别中对一定数量的个体进行分类以拟合钟形曲线，这将对个体造成伤害。有时，他们可能都只是普通甚至优秀的工人或学生，但考虑到需要使他们的评级或成绩符合钟形曲线，一些人被迫进入贫困群体。实际上，数据并不完全正常。有时在高于平均值和低于平均值之间存在偏斜或缺乏对称性。其他时间有肥尾（过度峰度），使尾部事件更可能比正态分布预测。

常见问题

什么是钟形曲线(a bell curve)？

钟形曲线是一个与正态分布有关的统计概念。“钟形曲线”一词产生于这样一个事实：当绘制在图表上时，正态分布的形状类似钟形曲线。在解释钟形曲线时，最接近钟形曲线中心的点是最有可能出现的点，而最接近左右边缘的点是异常值。钟形曲线广泛应用于各种学科，包括金融和经济、社会科学和自然科学。

钟形曲线在金融学中是如何应用的？

分析师在模拟与投资相关的不同潜在结果时，通常会使用钟形曲线和其他统计分布。根据正在进行的分析，这些可能包括未来股价、未来收益增长率、潜在违约率或其他重要现象。在使用钟形曲线进行分析之前，投资者应仔细考虑所研究的结果实际上是否正态分布。如果不这样做，可能会严重损害结果模型的准确性。

什么是钟形曲线的局限性(the limitati*** of the bell curve)？

尽管钟形曲线是一个非常有用的统计概念，但它在金融中的应用可能会受到限制，因为金融现象（如预期的股市回报率）并不完全符合正态分布。因此，在预测这些事件时过于依赖钟形曲线会导致不可靠的结果。尽管大多数分析师都清楚地意识到这一局限性，但克服这一缺点相对困难，因为通常不清楚使用哪种统计分布作为替代。